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第七章　静电场
专题九　电场中的功能关系及图像问题
素养目标　1.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系.（物理观念） 2.掌握电场中的几种常见图像.（物理观念）
一、电场中的功能关系
AD
C. 从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程.
答案：（3）见解析
深化　　几种常见的功能关系
（1）合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk（动能定理）.
（2）重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp.
（3）静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电.
（4）弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹.
（5）除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，
即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机.
A. 粒子带负电
B. 粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C. 粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D. 粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
D
解析：由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确.
B
A. 小球B速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零
B. 小球B的加速度先减小后增大
C. 小球B与弹簧组成系统的机械能一定减小
D. 小球A与B组成系统的电势能一定先减小后增大
解析：小球B向下运动的过程中受到重力、库仑力、弹簧的弹力作用，当弹簧的弹力、重力、库仑力的合力为0时，小球B的加速度为0，速度最大，故A错误；开始运动时，弹簧的弹力小于重力和库仑力之和，合力竖直向下，小球向下做加速运动，由于弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力减小，加速度减小，当合力减小为0时，速度最大，之后弹簧的弹力大于重力与库仑力之和，合力竖直向上，小球向下做减速运动，弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力竖直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先减小后增大，故B正确；由于库仑力对小球B做正功，由功能关系可知，小球B与弹簧组成系统的机械能一定增大，故C错误；库仑力对小球B做正功，小球A与B组成系统的电势能一直减小，故D错误.
二、电场中的图像问题
D
解析：根据题意知固定在坐标原点的电荷为负电荷且无限远处电势为0，则当x接近0
时，电势接近负无穷，根据点电荷的场强公式可得，在x轴正半轴上任一点x处，电荷
（舍去）.φ－x图线切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，则x＝1处对应的切线的
斜率为0，电势最高，D正确.
A
A. 将在ad之间做周期性运动
B. 在d点的电势能大于a点的电势能
C. 在b点与c点所受电场力方向相同
D. 将沿x轴负方向运动，可以到达O点
解析：由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，该过程中仅有电场力对粒子做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误.故选A.
（3）根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向.
（4）由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等.
深化1　　电场中的v－t图像
（1）由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化.
深化2　　电场中的φ－x图像
（1）电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场（如图所示）.切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零.
（2）在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向（如图所示）.
（3）电场中常见的φ－x图像
①点电荷的φ－x图像（取无限远处电势为零），如图所示.
②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图所示.
③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图所示.
深化3　　电场中的E－x图像
（1）反映了电场强度随位移变化的规律.
（2）判定电场强度E的方向：E＞0表示电场强度沿正方向；E＜0表示电场强度沿负方向.
（3）图线与x轴围成的“面积”表示两点间电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定.
（4）电场中常见的E－x图像
①点电荷的E－x图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示.
②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图所示.
③两个等量正点电荷的E－x图像，如图所示.
深化4　　电场中的Ep－x图像、Ek－x图像
（1）Ep－x图像
（2）Ek－x图像
角度1　电场中的v－t图像
AC
A. A、B两点的电势关系为φA＞φB
B. A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏
C. A、B两点的电场强度大小关系为EA＞EB
D. 粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面
解析：根据速度由v1变为v2，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加，根据带电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA＞φB，故A正确；电场线密集的位置等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在v－t图像中斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系EA＞EB，A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误.
C
角度2　电场中的φ－x图像
C
角度3　电场中的E－x图像
A. 释放后粒子的加速度先不变后减小
C. 粒子经过的位置中O点电势一定最大
D. 粒子在x1和x3处速度达到最大值
解析：O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误；x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，粒子到达x3时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；由题意知x2点的电势为0，有φx1＝－φx3，φx1＜φO，可知O点的电势最大，故C正确.
A. 电场强度方向沿x轴正方向
B. 电场强度大小为2.5 N/C
C. x＝5 m处的电势为0
D. 电子从原点O运动到x＝4 m处的过程中，动能增加了8 eV
角度4　电场中的Ep－x图像，Ek－x图像
CD
解析：根据电场力做功与电势能的变化关系可知，带负电粒子仅在电场力作用下沿x
轴正方向运动，电势能减小，则电场力做正功，因此电场强度方向沿x轴负方向，故
A错误；由题图可知，电势能的变化率不变，所以负电荷受到的电场力不变，则知该
故B错误；由图可知，x＝5 m处的电势能Ep为零，根据公式Ep＝qφ可知，x＝5 m处的
功，电势能减小了8 eV，则动能增加了8 eV，故D正确.
CD
A. 带电粒子与场源电荷带异种电荷
B. a点电势比b点电势高
C. a点场强比b点场强大
D. 带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
解析：粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qEx＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确.
限时跟踪检测
A级·基础对点练
题组一　电场中的功能关系
A. 小球一定带负电
B. 小球在做匀加速直线运动
C. 小球的电势能减小
D. 小球的机械能增加
A
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解析：小球做直线运动，则小球所受的合力一定与小球的初速度共线，所受力与速度方向关系如图所示，小球所受电场力水平向右，小球带负电，电场力与重力的合力与小球的初速度方向相反，所以小球做匀减速直线运动，故A正确，B错误.小球所受电场力水平向右，位移斜向左上方，可知电场力做负功，故小球的电势能增加，根据能量守恒，小球的电势能增加，则小球的机械能减小，故C、D错误.
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A. 粒子带负电
B. 带电粒子在Q点的电势能为qU
D
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3. （2025·景德镇质检）高大建筑物的顶端都装有避雷针来预防雷击.老师给同学们在实验室模拟尖端放电现象，原理如图所示.假设一电子在图中H点从静止开始只在电场力的作用下沿着电场线做直线运动.设电子在该电场中的运动时间为t，位移为x，速度为v，受到的电场力为F，电势能为Ep，运动经过的各点电势为φ，则下列四个图像可能合理的是（　　 ）
题组二　电场中的图像问题
A
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A. 2.5 V/m B. 250 V/m
C. 3.5 V/m D. 350 V/m
B
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6
B级·能力提升练
A. O～x1段电势逐渐升高
B. O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动
C. x1～x2段电场强度为零
D. x2～x3段的电势沿x轴均匀降低
ACD
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解析：电势能Ep＝φq，由于微粒带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据ΔEp＝FΔx，图线斜率反映电场力，O～x1段图线斜率变小，电场力减小，加速度逐渐减小，由于电势能增加，电场力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x1～x2段斜率为零，不受电场力，即电场强度为零，C正确；x2～x3段电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确.
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6. （2025·湖北荆门调考）如图所示，倾角θ＝37°的绝缘斜面底端与粗糙程度相同的绝缘水平面平滑连接.整个装置处于场强大小为E、方向水平向右的匀强电场之中.今让一个可视为质点的带电金属块，从斜面顶端由静止开始下滑，已知在金属块下滑到斜面底端的过程中动能增加了ΔEk＝6 J，金属块克服摩擦力做功Wf＝14 J，重力做功WG＝24 J，设在整个运动过程中金属块的带电荷量保持不变.（取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）求：
（1）在上述过程中电场力所做的功W电；
答案：（1）－4 J
解析：（1）金属块从斜面顶端下滑到斜面
底端的过程中，由动能定理：WG－Wf＋W电＝ΔEk
解得：W电＝－4 J
电场力做负功，说明金属块带正电.
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（2）金属块与斜面之间的动摩擦因数μ；
答案：（2）0.4
解析：（2）设斜面长度为L1，金属块从斜面顶端下滑到斜面底端的过程中受力如图所示
其中重力做功WG＝mgL1sin 37°＝24 J
克服摩擦力做功
Wf＝μ（mgcos 37°＋Eqsin 37°）L1＝14 J
电场力做功W电＝－EqL1cos 37°＝－4 J
联立解得：μ＝0.4.
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答案：（3）2 m
解析：（3）金属块从斜面底端向左滑行的过程中，
有：－（μmg＋Eq）L2＝－ΔEk
由（2）中等式可解得：mg＝8Eq
联立解得：L2＝2 m.
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