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第六章　碰撞与动量守恒
专题八　力学中常见的四种模型
素养目标　1.能够应用动量观点和能量观点分析“滑块—弹簧”模型，“滑块—曲（斜）面”模型，“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型.（科学思维） 2.能够应用过程分析法解决力学综合问题.（科学思维）
一、“滑块—弹簧”模型
A. 弹簧原长时B动量最大
B. 弹簧压缩最短时A动能最大
C. 系统动量变大
D. 系统机械能变大
A
考题2　（2024·黑吉辽卷）如图所示，高度h＝0.8 m的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量mA＝mB＝0.1 kg.A、B间夹一压缩量Δx＝0.1 m的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接.同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程xA＝0.4 m；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离xB＝0.25 m后停止.A、B均视为质点，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
（1）脱离弹簧时A、B的速度大小vA和vB；
答案：（1）1 m/s　1 m/s
解得vB＝1 m/s.
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
答案：（2）0.2
解得μ＝0.2.
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能ΔEp.
答案：（3）0.12 J
解得ΔEp＝0.12 J.
深化　　“滑块—弹簧”模型的理解
模型
图示
水平地面光滑
模型
特点 （1）两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒.
（2）在能量方面，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.
（3）弹簧处于最长（最短）状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小.
（4）弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大
甲
乙
CD
A. 在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
B. 从t3到t4过程中，弹簧由压缩状态恢复原长
C. 两物块的质量之比m1∶m2＝1∶2
D. 在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
训练1　如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝4.0 kg和mB＝3.0 kg.用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触.另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示.求：
（1）物块C的质量mC；
答案：（1）2 kg
解析：（1）由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝9m/s，碰后速度为v2＝3m/s，C与A碰撞过程动量守恒，有mCv1＝（mA＋mC）v2，解得mC＝2kg.
（2）B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep.
答案：（2）9 J
二、“滑块—斜面（曲面）”模型
二、“滑块—斜面（曲面）”模型
考题3　（2024·山东卷）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点.质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.已知轨道半圆形部分的半径R＝0.4 m，重力加速度大小取g＝10 m/s2.
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
答案：（1）4 m/s
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道的加速度a与F对应关系如图乙所示.
①求μ和m；
答案：①0.2　1 kg
解析：（2）①由题图乙可知，F1＝4 N时a1＝2 m/s2，此时小物块与轨道间刚要发生相对滑动，对小物块，由牛顿第二定律得μmg＝ma1
解得μ＝0.2
对小物块与轨道整体，由牛顿第二定律得F1＝（M＋m）a1
解得m＋M＝2 kg
F2＝8 N时a2＝6 m/s2，对轨道，由牛顿第二定律得F2－μmg＝Ma2
联立解得m＝M＝1 kg.
②初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F＝8 N，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地面的速度大小为7 m/s.求轨道水平部分的长度L.
答案：②4.5 m
联立解得v1＝3 m/s，v2＝9 m/s，v4＝5 m/s，t＝1.5 s，L＝4.5 m.
深化　　“滑块—斜面（曲面）”模型的理解
模型
图示
水平地面光滑
模型
特点
A. 小球以后将向左做平抛运动
B. 小球将做自由落体运动
BC
训练2　如图所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m（h小于斜面体的高度）.已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动.重力加速度的大小取g＝10m/s2.
（1）求斜面体的质量；
答案：（1）20kg
（2）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
答案：（2）不能，理由见解析
三、“子弹打木块”模型
三、“子弹打木块”模型
AD
深化　　“子弹打木块”模型的理解
模型
图示
模型
特点 （1）子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒.
（2）系统的机械能有损失
两种
情境
A. 无论m、M、v0的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是图甲所示的情形
B. 若M较大，则可能是图甲所示情形；若M较小，则可能是图乙所示情形
C. 若v0较小，则可能是图甲所示情形；若v0较大，则可能是图乙所示情形
D. 若地面较粗糙，则可能是图甲所示情形；若地面较光滑，则可能是图乙所示情形
A
解析：在子弹射入木块的瞬间，子弹与木块间的作用力远大于木块与地面间的摩擦
力，故子弹和木块构成的系统在水平方向上动量守恒，与地面光滑或粗糙无关，规定
向右为正方向，设子弹与木块的共同速度为v，根据动量守恒定律得mv0＝（m＋M）
v，设木块在水平地面上滑行的距离为s，木块的长度为d，从子弹射入到与木块相对
和地面粗糙程度如何，都只可能是题图甲所示的情形，A正确.故选A.
BD
A. 子弹对木块做的功与木块对子弹做的功代数和为0
B. 木块的动能增加量可能为16 J
C. 木块的动能增加量可能为22 J
D. 整个过程中子弹和木块组成的系统损失的机械能为20 J
解析：子弹对木块的作用力与木块对子弹的作用力是一对作用力与反作用力，大小相等，设子弹射入木块中的深度为d，子弹水平射入木块后，未穿出，到相对静止时，木块位移为x，子弹对木块做的功为fx，木块对子弹做的功为－f（x＋d），选项A错误；子弹射入木块的过程中要克服阻力做功，产生的内能为fd＝20 J，由能量守恒定律知系统损失的机械能为20 J，选项D正确；画出子弹和木块的v－t图像，如图所示，根据v－t图像与坐标轴所围面积表示位移大小可知，子弹射入木块的深度d（即子弹与木块的相对位移大小）一定大于木块做匀加速运动的位移x，根据动能定理可知，木块获得的动能为Ek＝fx＜fd，选项B正确，C错误.
四、“滑块—木板”模型
四、“滑块—木板”模型
BC
A. 前17秒内a与b共碰撞3次
B. 初始时a的速度大小为1 m/s
C. 前17秒内b与槽的侧壁碰撞3次
D. 槽内底部长为10 m
解析：根据碰撞规律可知物块b与槽壁碰后速度大小不变，方向改变，与a碰后交换速度，则根据物块b的v－t图像，可知前17秒内a与b共碰撞4次，发生在4～6 s之间、8 s时刻、10～12 s之间以及16 s时刻；前17秒内b与槽的侧壁碰撞3次，分别在2 s、10 s和12 s时刻，选项A错误，C正确；b与a碰前速度为v2＝2 m/s向左，碰后b的速度v'2＝1 m/s向右，因两物块质量相同且碰撞为弹性碰撞，则碰后两物块交换速度，可知碰前a的速度v1＝v'2＝1 m/s，即初始时a的速度大小为1 m/s，选项B正确；槽内底部长为L＝2v2Δt＝2×2×2 m＝8 m，选项D错误.故选BC.
考题6　（2024·甘肃卷）如图所示，质量为2 kg的小球A（视为质点）在细绳O'P和OP作用下处于平衡状态，细绳O'P＝OP＝1.6 m，与竖直方向的夹角均为60°.质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上，质量为2 kg的物块C静止在B的左端.剪断细绳O'P，小球A开始运动.（重力加速度取g＝10 m/s2）
（1）求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力；
答案：（1）40 N，方向竖直向下
（2）A在最低点时，细绳OP断裂.A飞出后恰好与C左侧碰撞（时间极短），碰后A竖直下落，C水平向右运动.求碰后C的速度大小；
答案：（2）4 m/s
解析：（2）A飞出后恰好与C左侧碰撞，碰后A竖直下落，故碰后A水平速度为零，
A与C碰撞过程中水平方向动量守恒，由动量守恒定律得mAv＝mCvC
解得vC＝4 m/s.
（3）A、C碰后，C相对B滑行4 m后与B共速.求C和B之间的动摩擦因数.
答案：（3）0.15
深化　　“滑块—木板”模型的理解
模型
图示
模型
特点 （1）系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能.
（2）若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大
求解
方法 （1）求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为系统.
（2）求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体.
（3）求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝E初－E末
或Q＝FfΔx，研究对象为系统
例4　（2025·安徽定远调研）如图所示，在水平轨道上静止放置足够长的木板A和物块C，可视为质点的物块B以初速度v0＝3 m/s从A左端开始向右运动，当A和B的速度相等时，A与C恰好发生第一次碰撞.已知A、B、C的质量分别为m、2m、3m，不计A与水平轨道间的摩擦，B与A上表面间的动摩擦因数为μ1＝0.1，C与轨道间的动摩擦因数μ2＝0.05，每次碰撞时间极短，均为弹性碰撞，重力加速度取g＝10 m/s2，忽略空气阻力.求：
（1）A与C第一次碰撞后瞬间A、C的速度；
答案：（1）－1 m/s　1 m/s
解析：（1）设A与B共速时速度为v1，A、B系统动量守恒有2mv0＝（2m＋m）v1
解得vA＝－1 m/s，vC＝1 m/s.
（2）A与C第一、二两次碰撞的时间间隔.
答案：（2）2 s
训练4　（2025·安徽模拟）如图1所示，小铁块位于长木板的最左端，小铁块的质量是6 kg，长木板的质量是12 kg.t＝0时二者以v0＝8 m/s的初速度一起向右运动，t＝0.5 s时长木板与右侧的挡板（未画出）相碰（碰撞时间极短），碰撞之前的运动过程中小铁块与长木板通过锁定装置锁定，碰撞前瞬间解除锁定，碰撞过程中没有能量损失，长木板运动的部分v－t图像如图2所示，在运动过程中小铁块恰好没有从长木板上滑下.小铁块可视为质点，重力加速度取g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.求：
（1）长木板与水平地面之间以及小铁块与长木板之间的动摩擦因数；
答案：（1）0.4　0.4
解得μ2＝0.4.
（2）长木板的长度；
答案：（2）6.75 m
解析：（2）由牛顿第二定律可得，0.5 s时刻之后小铁块的加速度大小为
a3＝μ2g＝0.4×10 m/s2＝4 m/s2
0.5 s时刻之后，长木板与小铁块均以v＝6 m/s的速度大小分别向左、向右做匀减速直线运动，因a2＞a3，故长木板先于小铁块速度减小到零，设此过程长木板的位移大小为x1，则有v2＝2a2x1
代入数据解得x1＝2.25 m
长木板速度减小到零后，因小铁块与长木板之间的滑动摩擦力小于长木板与水平地面之间的最大静摩擦力，故长木板处于静止状态，小铁块仍向右做匀减速直线运动直到速度为零，设0.5 s时刻之后，小铁块向右做匀减速直线运动直到速度为零的位移大小为x2，则有v2＝2a3x2
代入数据解得x2＝4.5 m
设长木板的长度为L，长木板的长度等于0.5 s时刻之后小铁块与长木板的相对位移大小，则有
L＝x1＋x2＝2.25＋4.5 m＝6.75 m.
（3）长木板与挡板碰撞后系统产生的内能.
答案：（3）324 J
解析：（3）设碰撞后小铁块与长木板相对滑动产生的内能为Q1，长木板与地面间相对滑动产生的内能为Q2，则有
Q1＝μ2mgL＝162 J
Q2＝μ1（M＋m）gx1＝162 J
故长木板与挡板碰撞后系统产生的内能
Q＝Q1＋Q2＝324 J.
限时跟踪检测
A级·基础对点练
题组一　滑块—弹簧模型
A. 此时乙物体的速度大小为1 m/s
B. 紧接着甲物体将开始做加速运动
C. 甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4
D. 当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4 m/s
A
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A. 任一时刻甲的加速度大小与乙的相等
B. 任一时刻甲的速度大小与乙的相等
C. 任一时刻甲的动量大小比乙的小
D. 弹簧弹性势能的减少量等于甲和乙的动能之和
C
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A. 斜面体对小球做负功
B. 斜面体的机械能守恒
C. 斜面体和小球组成系统的动量不守恒
ACD
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B
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题组三　子弹打木块模型
A. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的动量守恒
D
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A. 木块A与长木板B之间的动摩擦因数为0.1
B. 长木板的质量M＝2 kg
C. 长木板B的长度至少为2 m
D. 木块A与长木板B所组成的系统损失的机械能为4 J
甲
乙
AB
题组四　滑块—木板模型
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B级·能力提升练
A. I1＞I2，W1＞W2 B. I1＜I2，W1＞W2
C. I1＜I2，W1＜W2 D. I1＞I2，W1＜W2
B
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D
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10. 如图所示，在光滑水平面上有一双层凹槽A，上层槽面光滑，下层槽面粗糙，槽壁间距离均为L＝2 m，分别在上下槽的中点放置可视为质点的物块B、C. 现给B物块v0＝1 m/s的初速度使其向右运动.已知A、B、C的质量均为1 kg，C与下槽间的动摩擦因数μ＝0.025，物块与槽壁碰撞均没有能量损失且不计碰撞时间，B与槽壁碰撞时，A、C均已达到共速，重力加速度取g＝10 m/s2.求：
（1）物块B与槽壁第一次碰后瞬间，A、B的速度各是多大；
答案：（1）1 m/s　0
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（2）物块B与槽壁第一次碰撞后至第二次碰撞前，
物块C相对下槽面滑动的距离；
答案：（2）1 m
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（3）经过足够长的时间后，物块C与左侧槽壁间的距离.
答案：（3）0.2 m
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解析：（3）第二次碰撞，A以vs1＝0.5 m/s的速度与静止的B碰撞，
类比第一次碰撞计算可得
第二次碰撞后：vB2＝0.5 m/s，vA2＝0
此后，C做匀减速直线运动，A做匀加速直线运动，二者第二次共速
设共速需用时间为ts2和共速速度为vs2，A、C的位移为xA2、xC2和相对位移为Δx2，
有ts2＝1 s，vs2＝0.25 m/s，xA2＝0.125 m，xC2＝0.375 m，Δx2＝xC2－xA2＝0.25 m
第三次碰撞：B以vB2＝0.5 m/s的速度与速度为vs2＝0.25 m/s的A碰撞，由于A、B质量相等，二者速度交换：vB3＝0.25 m/s，vA3＝0.5 m/s
此后，A做匀减速直线运动，C做匀加速直线运动，二者第三次共速
再次计算相对位移：Δx3＝xA2－xC2＝0.062 5 m
发现：Δx1＝4Δx2＝16Δx3
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