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第五章　机械能
专题七　动力学和能量观点的综合应用
素养目标　1.会用功能关系解决传送带、滑块一木板模型综合问题.（科学思维） 2.会利用动力学和能量观点分析多运动组合问题.（科学思维）
一、传送带模型综合问题
一、传送带模型综合问题
考题1　（2024·湖北卷）如图所示，水平传送带以5 m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为3.6 m.传送带右端的正上方有一悬点O，用长为0.3 m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触.在O点右侧的P点固定一钉子，P点与O点等高.将质量为0.1 kg的小物块无初速度轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为1 m/s、方向水平向左.小球碰后绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上运动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小取g＝10 m/s2.
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
答案：（1）5 m/s
解析：（1）假设小物块在传送带上一直做匀加速直线运动，对小物块受力分析，由牛顿第二定律得μmg＝ma
根据运动学规律有v2＝2ax
联立解得v＝6 m/s＞5 m/s，假设不成立，则小物块在传送带上的末速度为5 m/s
可知小物块与传送带共速后匀速运动一段距离，然后与小球碰撞，碰前速度大小为v1＝5 m/s.
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
答案：（2）0.3 J
（3）若小球运动到P点正上方，绳子不松弛，求P点到O点的最小距离.
答案：（3）0.2 m
深化1　　传送带问题的分析方法
（1）动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系.
（2）能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解.
深化2　　功能关系分析
（1）传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传，也是电动机因传送带传送物体而多做的功.
（2）系统产生的内能：Q＝Ffx相对.
（3）功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. 其中ΔEk表示被传送物体动能的增加量，ΔEp表示被传送物体重力势能的增加量.
BC
A. 摩擦力对货物做的功为50 J
B. 货物从A运动到B用时1.5 s
C. 由于摩擦而产生的热量为20 J
D. 运送货物过程中，电动机输出的电能为60 J
答案：（1）2.5 m/s2
角度2　倾斜传送带模型
解析：（1）对小物块，根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma
解得a＝2.5 m/s2.
（2）传送带对小物块做了多少功？
答案：（2）255 J
解析：（3）电动机所做的功一方面使小物块的机械能增加，另一方面由于小物块与传送带之间有相对滑动而产生热量，即W电＝W＋Q，其中Q＝μmgx相对cos 30°，x相对＝vt－x，v＝at，解得W电＝270 J.
（3）因传送小物块，电动机额外做了多少功？
答案：（3）270 J
二、滑块—木板模型综合问题
二、滑块—木板模型综合问题
考题2　（2024·浙江6月选考）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接.长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平.将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定.已知R＝0.5 m，d＝4.4 m，L＝1.8 m，M＝m＝0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2.滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2.
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
答案：（1）5 m/s
（2）若μ2＝0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
答案：（2）0.625 J
（3）若μ2＝0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm.
答案：（3）6 m/s
（1）求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
（2）求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
（3）求摩擦生热时用相对位移Δx.
角度1　水平面上的“滑块—木板”模型
C
A. P与Q开始相对静止的速度是2.5 m/s
B. 长木板Q长度至少为3 m
C. P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为1∶1
D. P与Q之间产生的热量和地面与Q之间产生的热量之比为2∶1
角度2　倾斜面上的“滑块—木板”模型
例4　如图所示，一倾角为θ＝30°的足够长光滑斜面固定在水平面上，斜面下端有一与斜面垂直的固定挡板，将一质量为m的木板放置在斜面上，木板的上端有一质量为m的小物块（视为质点），物块和木板间最大静摩擦力等于滑动摩擦力且大小恒为kmg（0.5＜k＜1），初始时木板下端与挡板的距离为L. 现由静止同时释放物块和木板，物块和木板沿斜面下滑，已知木板与挡板碰撞的时间极短，且碰撞后木板的速度大小不变，方向与碰撞前的速度方向相反，物块恰好未滑离木板，重力加速度为g，求：
（1）木板第一次与挡板碰撞前瞬间，物块的速度大小v1；
（2）从释放到木板第二次与挡板碰撞前瞬间，物块相对木板的位移大小Δx；
解析：（2）木板第一次与挡板碰撞后，木板的加速度大小为a1，则mgsin θ＋kmg＝ma1
解得a1＝0.5g＋kg，沿斜面向下，
物块的加速度大小为a2，则kmg－mgsin θ＝ma2
解得a2＝kg－0.5g，沿斜面向上，
规定向下为正方向，木板第一次与挡板碰撞结束时到木板和物块速度相同时，对木板有v共＝－v1＋a1t1
对物块有v共＝v1－a2t1
（3）木板的长度x以及整个运动过程中系统因摩擦产生的热量Q.
解析：（3）设板长为x，从释放到长木板和物块都静止的过程中系统能量守恒，则mgLsin θ＋mg（L＋x）sin θ－kmgx＝0
0
三、用动力学和能量观点分析综合问题
三、用动力学和能量观点分析综合问题
考题3　（2024·江苏卷）如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L. 一个质量为m的物块，在电动机作用下，从A点由静止加速至B点时达到最大速度v，之后做匀速运动至C点，关闭电动机，从C点又恰好到达最高点D. 求：
（1）CD段长度x；
（2）BC段电动机的输出功率P；
答案：（2）mgv（sin θ＋μcos θ）
解析：（2）物块在BC段做匀速运动，电动机的牵引力为F＝mgsin θ＋μmgcos θ
由P＝Fv得P＝mgv（sin θ＋μcos θ）.
（3）全过程物块增加的机械能E1和电动机消耗的总电能E2的比值.
解析：（3）全过程物块增加的机械能为E1＝mgLsin θ，全过程由能量守恒定律得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和因摩擦产生的热量，有E2＝E1＋μmgcos θ·L
深化1　　分析思路
（1）受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况.
（2）做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况.
（3）功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解.
深化2　　方法技巧
（1）“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景.
（2）“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律.
（3）“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案.
AD
A. 轻绳拉力大小一直增大
B. 物体P的加速度大小一直增大
（1）滑块到达光滑圆弧底端B时对轨道的压力大小；
答案：（1）6 N
解得N＝6 N
根据牛顿第三定律可知，滑块到达光滑圆弧底端B时对轨道的压力大小为6 N.
（2）滑块与传送带间因摩擦产生的热量；
答案：（2）0.3 J
（3）滑块滑到F点后水平飞出，滑块的落地点到O点的距离.
限时跟踪检测
A级·基础对点练
题组一　传送带模型综合问题
A. 行李箱受到的摩擦力保持不变
B. 行李箱与传送带间的动摩擦因数μ＞tan θ
C. 传送带电机对外做的功大于行李箱机械能的增加量
D. 摩擦力对传送带做功的值等于行李箱机械能的增加量
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A. 阻力对水桶做功是160 J
B. 水桶滑到轨道末端时重力的瞬时功率是400 W
C. 水桶损失的机械能是160 J
D. 重力的冲量是40 N·s
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题组二　滑块—木板模型综合问题
A. 图线a为物块动能的变化图线，图线b为物块机械能的变化图线
B. 物块的质量为m＝0.5 kg
D. 物块的初速度为v0＝15 m/s
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A. 长木板加速运动的加速度大小是3 m/s2
B. 物块与长木板之间动摩擦因数为0.2
C. 长木板长度至少为8 m
D. 物块与长木板系统损失的机械能为36 J
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A. 钢球的机械能损失0.9 J
B. 钢球的平均速度大小为0.25 m/s
C. 重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量
D. 合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量
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7. （2025·湖北重点高中联考）如图所示为固定在竖直平面内半径为R＝1 m的半圆形粗糙轨道，A为最低点，B为圆心等高处，C为最高点.一质量为m＝1 kg的遥控小车（可视为质点）从A点水平向右以v0＝8 m/s无动力进入轨道，上升高度为H＝1.8 m时脱离轨道，重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力.求：（可保留根号或π的形式，或对应结果保留1位小数）
（1）小车脱离轨道时的速度大小；
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（2）小车从A至脱离过程克服摩擦力所做的功；
答案：（2）10 J
解得W克f＝10 J.
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（3）开启动力后，小车以v0＝8 m/s匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力的k＝0.25倍，求小车从A到C过程中电动机做的功.
答案：（3）（20＋16π） J
解得W电＝（20＋16π） J.
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B级·能力提升练
8. （2025·石家庄教学质量检测）如图所示，长为L2＝1.5 m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，传送带以v0＝4.0 m/s的速度逆时针匀速转动，左侧粗糙轨道RQ的长为L1＝3.25 m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L3＝3.5 m，其右端与半径大于100 m的光滑圆弧轨道的一小段相切（N点为圆弧轨道的最低点）.现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某位置由静止释放，物块向左运动至挡板处与挡板发生弹性碰撞后向右刚好能运动到P点.已知小物块与传送带以及左侧轨道的动摩擦因数均为μ＝0.1，重力加速度取g＝10 m/s2，π2＝10，不计物块与挡板的碰撞时间.
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（1）求物块第一次到达Q点时的速度大小；
答案：（1）4 m/s
解得物块第一次到达Q点时的速度大小为vQ＝4 m/s.
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（2）为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围；
答案：（2）0.65 m≤h≤0.95 m
解得h2＝0.95 m
物块从圆弧轨道上释放高度的范围为
0.65 m≤h≤0.95 m.
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（3）当物块从圆弧轨道上高度为0.8 m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径.
答案：（3）110.25 m
解得R＝110.25 m.
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9. （2025·遵义高三第一次适应性考试）如图所示为一种自动卸货装置的简化图，AB为倾斜直轨道，BC为水平传送带，CD为水平直轨道，传送带与AB、CD在B、C两点平滑相接，在水平轨道右端固定一轻弹簧.O为AB上一点，AO间距离l1＝1.8 m，OB间的距离l2＝4 m，AB与水平面的夹角θ＝37°，BC间距离l3＝10 m，传送带始终以v＝6 m/s的速率顺时针转动.将质量m0＝16 kg的货物装入一个质量为M的货箱中，从O点由静止释放，货物在货箱中始终与货箱保持相对静止，弹簧被货箱压缩到最短时立即被锁定，工人取走货物后解除弹簧的锁定，货箱被弹回.货箱与AB间动摩擦因数μ1＝0.5，与传送带间的动摩擦因数μ2＝0.4，CD段可视为光滑，货箱和货物均可视为质点，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
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答案：（1）4 m/s
（1）货箱和货物一起下滑到B点时的速度大小v0；
解得v0＝4 m/s.
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（2）货箱和货物一起通过BC段所用的时间t；
答案：（2）1.75 s
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（3）若货物质量不变，要使货箱能回到O点且不从A点滑出，货箱质量范围是多少（结果保留3位有效数字）.
答案：（3）3.60 kg≤M≤4.65 kg
解得Mmin＝3.60 kg
则货箱质量范围为3.60 kg≤M≤4.65 kg.
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