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第十章　电磁感应
专题十七　电磁感应综合应用
素养目标　综合应用楞次定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律分析电磁感应问题.（科学思维）
AB
A. 回路中的电流方向为abcda
C. ab与cd加速度大小之比始终为2∶1
D. 两棒产生的电动势始终相等
考题2　（2024·北京卷）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图.在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦.已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R. 开关闭合前电容器的电荷量为Q.
（1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
（2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
解析：（2）闭合开关瞬间，对导体棒由牛顿第二定律得BIL＝ma
（3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线.
答案：（3）见解析图
解析：（3）电容器放电过程中，电容器所带电荷量减小，回路中的电流减小，由牛顿第二定律知，导体棒的加速度减小，当导体棒产生的感应电动势等于电容器两端电压时，回路中电流为零，导体棒做匀速直线运动，图像如图所示.
深化1　　导体的两种运动状态
（1）导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态.
处理方法：根据平衡条件（合力等于零）列式分析.
（2）导体的非平衡状态——加速度不为零.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.
深化2　　用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
深化3　　导体常见运动情况的动态分析
若F合＝0 匀速直线运动
若F合≠0
↓
F合＝ma a、v同向 v增大，若a恒定，拉力F增大
v增大，F安增大，若其他力恒定，F合减小，a减小，做加速度减小的加速运动→a＝0，匀速直线运动
a、v反向 v减小，F安减小，a减小→a＝0，静止或匀速直线运动
深化4　　有恒定外力等间距双棒模型
示意图
及条件
两光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，电阻不计，两导体棒1、2质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，两棒初速度为零，F恒定
电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而运动
运动分析
规律
分析 开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动，I恒定，Δv恒定
最终
状态
角度1　“单棒＋电阻”模型
（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2.
角度2　“双棒”模型
例2　（2025·云南昆明第一中学模拟）某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计.如图所示为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求：
（1）此时金属棒PQ的加速度是多少？
答案：（1）0.4 m/s2　
解析：（1）恒力作用于MN棒，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则知MN所受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－BIL＝ma，对PQ由牛顿第二定律得BIL＝ma'，联立解得a'＝0.4 m/s2.
（2）此时金属棒MN、PQ的速度各是多少？
答案：（2）18 m/s　2m/s　
（3）金属棒MN和PQ的最大速度差是多少？
答案：（3）40 m/s
考题3　（2021·海南卷）如图所示，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上.金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0.设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其他电阻.
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（ⅰ）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ⅱ）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离.
深化1　　能量转化及焦耳热的求法
（1）能量转化
（2）求解焦耳热Q的三种方法
深化2　　求解电磁感应现象中的能量问题的一般步骤
（1）在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源.
（2）分析清楚有哪些力做功，就可以知道哪些形式的能量发生了相互转化.
（3）根据能量守恒列方程求解.
（1）金属棒到达最低点时它两端的电压；
（2）金属棒由PQ下滑到MN过程中通过它的电荷量；
（3）由PQ下滑到MN过程中金属棒中产生的焦耳热.
角度2　线框进出磁场模型
BD
A. 线框产生的焦耳热为mgd
B. 线框产生的焦耳热为2mgd
D. 线框的最小动能为mg（h－d＋L）
CD
C. 金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D. 若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍
深化1　　“单棒＋电阻”模型
（1）水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻阻值为R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从导体棒开始运动至停下来.求：
（2）间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直导轨所在倾斜面向下（重力加速度为g，导轨电阻不计）.
深化2　　“电容器＋棒”模型
（1）无外力充电式
基本模型
（导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C）
电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电
电流特点
运动特点和
最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零
最终速度
v－t图像
（2）无外力放电式
基本模型
（电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C）
电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm
运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
最大速度vm
v－t图像
角度1　“单棒＋电阻”模型
BC
A. 通过电阻的电流方向为a→b
AB
角度2　“电容器＋棒”模型
D. 在其他条件不变时，炮弹的最大速度与电容器电容大小成正比
四、动量守恒在电磁感应中的应用
BD
A. ab棒从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44 s
B. ab棒从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78 J
C. 两棒第一次碰撞后瞬间，ab棒的速度大小为6.3 m/s
D. 两棒第一次碰撞后瞬间，cd棒的速度大小为8.4 m/s
（1）求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向；
答案：（1）2 m/s2　方向水平向右　
（2）为使乙第一次到达水平导轨右端Q1Q2之前甲和乙不相碰，求d的最小值；
答案：（2） 24 m　
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的高度y随时间t的变化如图（b）所示（t1、t2、t3、t4、b均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0～t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d的取值范围.
答案：（3）见解析
深化1　　在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便.
模型示意
图及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，给棒2一个初速度v0
电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电动势
电流及速
度变化
深化2　　双棒模型（不计摩擦力）
最终状态 a＝0，I＝0，v1＝v2
系统规律
角度1　动量守恒定律在等长双杆模型中的应用
AC
ACD
角度2　动量守恒定律在不等长双杆模型中的应用
B. 达到稳定运动时，C、D两棒速度之比为1∶1
限时跟踪检测
A级·基础对点练
题组一　电磁感应与动力学综合问题
A. 所受安培力方向水平向右
B. 可能以速度v匀速下滑
C. 刚下滑的瞬间ab棒产生的电动势为BLv
D. 减少的重力势能等于电阻R上产生的内能
AB
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解析：导体棒ab以一定初速度v下滑，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，由右手定则可判断出电流方向为从b到a，由左手定则可判断出导体棒ab所受安培力方向水平向右，选项A正确；当mgsinθ＝BILcosθ时，沿导轨方向合外力为零，导体棒ab可能以速度v匀速下滑，选项B正确；由于速度方向与磁场方向夹角为（90°＋θ），刚下滑的瞬间导体棒ab产生的电动势为E＝BLvcosθ，选项C错误；由于导体棒ab不一定匀速下滑，由能量守恒定律，可知导体棒ab减少的重力势能不一定等于电阻R上产生的内能，选项D错误.
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A. 线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B. 线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C. 线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D. 线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
D
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A. 流过定值电阻的电流方向是N→Q
C. 克服安培力做的功为mgh
BD
题组二　电磁感应与能量综合应用
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A. t秒内AB棒所受的安培力方向水平向左，大小保持不变
B. t秒内外力F做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C. t秒内AB棒做匀加速运动
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D. 以上均有可能
B
题组三　动量定理在电磁感应中的应用
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CD
A. ab棒先做匀减速运动，最后做匀速运动
B. cd棒先做匀加速直线运动，最后和ab棒以相同的速度做匀速运动
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B级·能力提升练
A
A B C D
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B. 感应电流所做的功为mgd
C. 感应电流所做的功为2mgd
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A. 若将b杆锁定在导轨上，a杆的最终速度为0.5 m/s
B. b杆刚要运动时，a杆的速度大小为0.2 m/s
C. 足够长时间后，回路的面积减小
D. 足够长时间后，回路的电流为1.8 A
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10. 如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计.图中EFHG矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.在0时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，金属棒a、b没有相碰，且两棒整个过程中相距最近时b棒仍位于磁场区域内.已知金属棒a、b长度均为L，电阻均为R，a棒的质量为2m、b棒的质量为m，最终其中一棒恰好停在磁场边界处，在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好.求：
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（1）0时刻a棒的加速度大小；
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（2）两棒整个过程中相距最近的距离s；
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（3）整个过程中，a棒产生的焦耳热.
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