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2024-2025学年辽宁省沈文新高考研究联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
2.设，，，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
3.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.小明在某不透明的盒子中放入红黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉未看被丢掉小球的颜色现从剩下个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为( )
A. B. C. D.
6.某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是参考数据：，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
7.在数列中，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，表示，的最小值，设函数，若有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，或，则的必要不充分条件可能是( )
A. B. C. D.
10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口，为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则( )
若随机变量服从正态分布，
A. B. C. D.
11.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
13.期中考卷有道单选题，小明对其中道题有思路，道题完全没思路有思路的题做对的概率是，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为，则小明从这道题中随机抽取道做对的概率为 ．
14.正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，考虑对这个正方形执行下面三种变换：：逆时针旋转：顺时针旋转：关于原点对称上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，，，，如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是恒等变换例如，是一个恒等变换则恒等变换共 种；对于正整数，恒等变换共 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．


16.本小题分
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与相互独立．
若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率；
假设，
为使得甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
17.本小题分
数列满足，，．
Ⅰ设，证明是等差数列；
Ⅱ求的通项公式．
18.本小题分
设函数．
求函数的单调区间．
若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为．
当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；
若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件，
因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为；
根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
16.解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于分，
甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率为：
．
若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为分的概率为：
，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率为：
，
，
，
为使得甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可难取值为，，，，
同理，
，
为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
17.解：Ⅰ由得，
，
由得，，
即，
又，
所以是首项为，公差为的等差数列．
Ⅱ由Ⅰ得，，
由得，，
则，，，，，
则当时，
，
则，
可知当时，满足，
所以的通项公式．
18.解：，
，
令，可得或；令，可得，
则增区间为和；减区间为
由知 当时，取极大值；
当时，取极小值；
方程仅有三个实根．
，解得，
即实数的取值范围为．
19.当时，，
则，
即的斜率，
假设存在，则的斜率，
则有解，
即在上有解，
该方程化简为，
解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
当时，，
显然不存在，
即不存在两条相互垂直的切线；
当时，，
且，
所以，，
且，，
所以在，上各有一个零点，，
故当，或时，都有；
当时，，
故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，
所以，
所以；
因为，
由知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，满足，
即，
又，，
所以，
故，
当且仅当时等号成立，所以，
解得，
又，即，
解得，
因为，，
所以
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是
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