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2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀，得到列联表如下：
优秀 非优秀 总计
甲班
乙班
总计
已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
A. 列联表中的值为，的值为 B. 列联表中的值为，的值为
C. 列联表中的值为，的值为 D. 由列联表可看出成绩与班级有关系
3.已知随机变量服从，若，则( )
A. B. C. D.
4.若函数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于( )
A. B. C. D.
6.等差数列，的前项和分别是，，且，则( )
A. B. C. D.
7.在件工艺品中，有件二等品，件一等品，现从中抽取件，则抽得二等品件数的数学期望为( )
A. B. C. D.
8.某大学的名男生和名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A. 若要求名女生排在一起，则这名同学共有种排法
B. 若要求名男生不相邻，则这名同学共有种排法
C. 若要求女生从左到右是从高到矮排列，则这名同学共有种排法
D. 若要求男生甲不站在最左边，女生乙不站最右边，则这名同学共有种方法
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为，，，，，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则( )
A. 存在，使得，，为等差数列
B.
C. 存在，且，使得
D. 数列的前项和小于
10.已知函数，，则下列选项中正确的是( )
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为
C. 在上是增函数
D. 若方程有个不同的根，则
11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人下列说法正确的是( )
A. 已知第次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为
B. 已知第次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为
C. 第次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有种
D. 第次传球后球在乙手中的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，数列的前项的和为______．
13.在数字通信中，信号是由数字和组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知当发送信号时，被接收为和的概率分别为和；当发送信号时，被接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的，则接收的信号为的概率为______．
14.若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某手机应用程序公司对一大型小区居民开展个月的调查活动，了解使用这款的居民的满意度，统计数据如下：
月份
不满意人数
求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区月份对这款不满意的人数；
公司为了调查对这款是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款的居民中随机调查人，得到下表：
性别 满意度
满意 不满意
男性
女性
根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款是否满意与性别有关联？
附：
，．，．
16.本小题分
已知数列为等差数列，，．
求数列的通项公式．
若，求数列的前项和．
17.本小题分
在的展开式中，求；
含的项；
各项系数和用数字作答；
系数最大的项是第几项？
18.本小题分
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，个为元，其余个均为元．
求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
若顾客甲和顾客乙参与活动，记事件为“甲乙两人所获的奖励额之和不低于元”，求事件的概率；
商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
19.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有解，求的取值范围；
，讨论零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意可得，，
，
，
所求回归直线方程为，
当时，，
预测该小区月份对这款不满意的人数为人；
零假设设为：对这款是否满意与性别无关联，
则由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即可以认为成立，
对这款是否满意与性别无关联．
16.解：数列为等差数列，，．
设等差数列的公差为，
因为，所以．
又因为，则，
所以．
由知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，．
17.解：在的展开式中，
含的项为；；
在的展开式中，令，
则各项系数和；
设系数最大的项是第项，
则，
则，
即，
即系数最大的项是第项和第项．
18.易知的所有可能取值为，，，，
此时，，
，，
则的分布列为：
故元；
由知，两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
两人所获的奖励额之和为的概率为；
所以“甲乙两人所获的奖励额之和不低于元”的概率；
根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元，所以先寻找期望为元的可能方案，
对于面值由元和元组成的情况，
如果选择的方案，
因为元是面值之和的最大值，
所以期望不可能为元；
如果选择的方案，
因为元是面值之和的最小值，
所以期望也不可能为元，
则可能的方案是；
对于面值由元和元组成的情况，同理可排除和的方案，
所以可能的方案是，
对于方案，
设顾客所获的奖励额为，
易知的所有可能取值为，，，
所以，，，
则的分布列为：
可得，
则，
对于方案，
设顾客所获的奖励额为，
易知的所有可能取值为，，，
所以，，，
则的分布列为：
可得，
则，
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差比方案的小，
所以应该选择方案．
即面值为个元和个元．
19.解：根据题意得函数，函数的定义域为，
由于函数，因此导函数，
那么导函数，
当时，，令，，令，，
因此此时在上单调递减，在上单调递增，
令，那么，解得或，
当时，解得，令导函数，，
令导函数，，
因此此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，解得，导函数，
故此时函数在上单调递增，
当时，解得，令导函数，，
令导函数，，
因此此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
如果有解，那么有解，
因此有解，即有解，则有解即可，
令函数，那么即可，而导函数，
令，，令，，
此时函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，故，那么．
由于函数，
因此函数，
令，那么，因此，
令，那么，而导函数，
因此函数在上单调递增，因此，即，
若讨论方程的零点个数，
我们讨论和函数的交点个数即可，
而导函数，令，，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
得到的极大值为，
当时，，当时，，
则当或时，和有个交点，
当时，和有个交点，
当时，和没有交点，
综上，当或时，有个零点，
当时，有个零点，
当时，没有零点．
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