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广安市2025年春季高一期末考试
数学（试卷类型：B）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C A A D A B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
AC BC ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分。
12． 13．12 14．
四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．
（1）；·····（3分）
（2）；
·····（7分）
（3）设，·····（8分）
则，所以①·····（9分）
，·····（10分）
因为是纯虚数，所以②·····（11分）
由①②联立，解得 或·····（12分）
所以或．·····（13分）
16．
（1）由与共线得：，则，
·····（3分）
， ，·····（6分）
则.·····（9分）
（2）由（1）知，，则·····（12分）
故或，或·····（15分）
17．
（1）由，解得；
·····（3分）
（2）因为，，
·····（5分）
所以样本数据的第62百分位数在内，可得，
·····（7分）
所以样本数据的第62百分位数为分；·····（9分）
（3）样本数据落在的个数为，落在的个数为，
·····（11分）
，总方差·····（13分）.·····（15分）
18．
（1）由题意可知：
··········（1分）
，·····（2分）
由，·····（3分）
得的最小正周期为π．·····（4分）
（2）由（1）知意，·····（5分）
令，，·····（6分）
即，．·····（7分）
所以的单调递增区间为 ，．·····（8分）
（3）由题意·····（9分）
，·····（11分）
又，所以，·····（12分）
又，·····（13分）
则，即．·····（14分）
又，即·····（15分）
所以，即，·····（16分）
故的值为．·····（17分）
19．
（1）证明：四边形是矩形，
·····（1分）
又中平面，平面，·····（2分）
平面，又因为平面，
平面平面，·····（3分）
·····（4分）
（2）在等边中，为的中点，
·····（5分）
侧面为矩形，．
又，平面
平面·····（6分）
平面，
·····（7分）
又，
.·····（8分）
（3）过作的垂线，垂足为，
由（1）（2）可知平面，
平面·····（9分）
又平面，
又，且两直线在平面内，
平面，·····（11分）
又，则就是与平面所成的角，
，·····（12分）
在中由余弦定理可得，·····（13分）
所以，易知，即为的中点，
，·····（14分）
又且，且两直线在平面内，
平面，·····（15分）
四边形为梯形且，
·····（16分）
平面，
.·····（17分）广安市2025年春季高一期末考试
数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．10 B． C．6 D．
2．收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ）
A．85 B．90 C．95 D．100
3．复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
4．在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．已知、为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．广安华蓥山景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得△A1B1C是以为斜边的等腰直角三
角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1
千米，则两个峰顶的直线距离为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
7．已知i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．在三棱锥中，底面△ABC为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面△ABC上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率：
时间 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年
利率% 1.55 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65
关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（ ）
A．极差为0.35 B．平均数小于1.65
C．中位数为1.65 D．20%分位数为1.50
10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．与夹角为 B．
C． D．与夹角为
11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分。
12．某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为
13．在△ABC中，分别是边的中点，已知，，则△ABC的面积为
14．已知平面，，，于，于，在上，且满足，则四面体与的外接球的体积比的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
16. （15分）
已知，，且与共线.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
17. （15分）
广安一学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本数据的第62百分位数；
(3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差.
18. （17分）
已知向量，，设函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)设，且，，求的值．
19. （17分）
如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积．

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