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2024-2025学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为非零实数且，则( )
A. B. C. D.
3.北京书市的主展场设在朝阳公园，公园内设置了十大展区，分别是：主题出版物展区、出版精品展销区、京津冀及其他地区文旅展示区、“旧书新知”专区、实体书店街区、儿童精品阅读区、特价书展销区、潮卖场、阅读新场景区和动漫电竞区某市民决定从这些展区中选出两个不同展区分别安排在上、下午进行深度游览体验，则该市民不同的安排种数为( )
A. B. C. D.
4.展开式中含项的系数是( )
A. B. C. D.
5.若存在实数使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在某场半程马拉松比赛上，位选手的完赛成绩单位：小时分别为：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
7.青少年近视是现阶段社会广泛关注的健康问题之一已知某地区高中、初中、小学在校学生数之比为：：，为了解该地区中小学生的近视情况，采用按比例分配的分层随机抽样方法，得到高中在校学生近视率为，初中在校学生近视率为，小学在校学生近视率为，则该地区中小学生总体近视率估计为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
10.现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域是______．
12.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，设为该运动员连续射击次的中靶次数，则 ______．
13.若，且，则的最大值为______；的最小值为______．
14.某校数学建模社团共有名成员，其中高一男生人，女生人，高二男生人，女生人，现从中选出人组成一支队伍参加建模比赛，要求队伍中至少有名女生且所有女生都来自同一年级，则不同选法共有______种
15.设实数，函数则 ______；若存在实数使得方程恰有三个不同的实数解，则的一个取值为______．
16.对任意的，定义函数，给出下列四个结论：
对任意的，有；
对任意的，有；
当且时，；
当且时，．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
当时，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
某鸟禽馆有，，三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园为了合理规划，该馆先建设一个小型试验园，包括浆果植物区、昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取只鸟放置在小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表：
浆果植物区 昆虫丰富区 水体区
类 只 只 只
类 只 只 只
类 只 只 只
用频率估计概率．
从该馆内随机抽取只鸟，估计这只鸟是类鸟的概率；
此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取只鸟，设为其中类鸟的只数，求的分布列和数学期望；
为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取只鸟进行健康检查，要求其中至少有只类鸟的概率大于，根据表中数据，写出的最小值只需写出结论，参考数据：，
19.本小题分
已知函数的图象经过点．
当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ若对恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
设函数和函数的定义域都是实数集，对任意的实数，定义集合且．
若，，，求集合中元素的最小值；
若，，，求证：对任意的，集合中不存在正数．
21.本小题分
设为正整数，已知集合，其中若存在，使得中存在三个不同的数，，满足，，，则称集合具有性质．
判断集合是否具有性质？说明理由；
若集合具有性质，且，求的值；
若集合满足且，求证：集合具有性质．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 答案不唯一
16.
17.由可得或，即或，
当时，，故A或；
Ⅱ由或可得，
当时，，由可得，解得．
当时，，由可得，解得；
当时，满足，故符合题意；
综上，可知实数的取值范围是．
18.根据题意可知：只鸟中类鸟的只数为，
所以从该馆内随机抽取只鸟，这只鸟是类鸟的概率估计为；
根据题意可知，
所以的分布列为，，，，
所以；
的最小值为理由如下：
由表格中数据知，随机抽取的只鸟中类鸟有只，非类鸟有只，
故可以估计该馆内随机抽到已知类鸟的概率为，非类鸟的概率为，
则抽到的只鸟都为非类鸟的概率为，，
此时至少有只类鸟的概率为，即，
则，
两边取对数可得，即，
代入，，则，
则当，故，
所以当至少有只类鸟的概率大于时，的最小值为．
19.函数的图象经过点，
将代入函数解析式，有，解得，
当时，，所以，
又，，
故切线方程为，即；
Ⅱ根据题意，定义域为，
，
令，解得或，
当时，此时，此时在上单调递增，
当时，令，则或，令，则，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，令，则或，令，则，
故的单调递减区间为，的单调递增区间为，．
Ⅲ当时，有知：在上单调递增，
所以当时，，
当时，，由知：在上单调递增，
所以当时，，
当时，，由可知在上单调递减，
所以，矛盾，
综上可得，即的取值范围为．
20.根据题意，，
令函数，，导函数，
在上单调递增，，
因此集合中元素的最小值是．
证明：设函数，，
导函数，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在的最大值为，
令函数，，导函数，
在上单调递减，，所以，
那么当时，集合中不存在正数；
当时，函数在的最大值为，
令，，导函数，
在上单调递减，，因此，
则当时，集合中不存在正数，
所以对任意的，集合中不存在正数．
21.解：由题意知，集合具有性质，理由如下：
令，当，，时，，，，
所以集合具有性质．
解：由题意，不妨设，
对任意，，则，
所以存在，使得，，，
又，所以，，，
，，，所以，
即，所以为正偶数，
又，所以，，，所以．
证明：不妨设，
假设集合不具有性质，即对任意，中不存在三个不同的数，，满足，，，
考虑，，，，则不存在三个不同的正整数，，满足，
即至多存在两个不同的正整数，满足，
由，，，，，，得，，，至多有两个，两个，，两个，
所以，
则与矛盾，
所以假设不成立，即集合具有性质．
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