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1.5.2等腰三角形的判定
第一章 三角形
【2025-2026学年】苏科版2024 数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.5.2 等腰三角形的判定
幻灯片 1：标题页
标题：等腰三角形的判定
副标题：如何判定一个三角形是等腰三角形
设计：以动态变化的三角形为背景，从一般三角形逐渐变为等腰三角形，突出判定的过程性，旁边配以 “判定” 相关的关键词
幻灯片 2：回顾引入
回顾性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
提出问题：反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
引入课题：今天我们就来学习等腰三角形的判定方法。
幻灯片 3：判定方法一 —— 定义法
内容：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
几何表述：在△ABC 中，若 AB = AC，则△ABC 是等腰三角形。
示例：如图，已知线段 AB = AC，连接 BC，那么△ABC 是等腰三角形。
适用场景：当已知条件中明确给出两条边相等时，可直接用定义判定。
幻灯片 4：判定方法二 —— 等角对等边（探究）
操作实验：画一个三角形 ABC，使∠B = ∠C，用刻度尺测量 AB 和 AC 的长度。
观察结果：AB = AC。
提出猜想：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
幻灯片 5：“等角对等边” 定理证明
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明过程：
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中：
∠B = ∠C（已知）
∠ADB = ∠ADC = 90°（垂直定义）
AD = AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴AB = AC（全等三角形对应边相等）
定理总结：在一个三角形中，等角对等边。
幻灯片 6：“等角对等边” 几何表述
符号语言：在△ABC 中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC（△ABC 是等腰三角形）。
强调：“等角对等边” 是判定等腰三角形的重要依据，要注意与 “等边对等角” 的区别和联系。
幻灯片 7：例题 1—— 基础应用
题目：已知，在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 50°，求证：△ABC 是等腰三角形。
图形：展示△ABC 及标注的角度。
分析：先求出∠C 的度数，再看是否有两个角相等。
解答过程：
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴∠C = 180° - 80° - 50° = 50°
∴∠B = ∠C
∴AB = AC（等角对等边）
∴△ABC 是等腰三角形
幻灯片 8：例题 2—— 结合平行线
题目：如图，AB∥CD，∠A = ∠D，求证：BC = AD。
图形：展示 AB∥CD，连接 AD、BC 形成的图形。
分析：利用平行线性质得到角相等，再结合已知角相等推出等角，进而判定等腰三角形。
解答过程：
∵AB∥CD
∴∠ABD = ∠CDB（内错角相等）
又∵∠A = ∠D
且 BD = BD（公共边）
∴△ABD≌△DCB（AAS）
∴∠ADB = ∠CBD
∴BC = AD（等角对等边）
幻灯片 9：其他判定方式 ——“三线合一” 逆定理
方式一：在一个三角形中，若一个角的平分线与该角对边上的中线重合，则这个三角形是等腰三角形。
已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD = CD。
求证：AB = AC。
简要证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，证明△ADC≌△EDB，进而推出相关角相等，得出 AB = AC。
方式二：在一个三角形中，若一个角的平分线与该角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形。
方式三：在一个三角形中，若一条边上的中线与该边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形。
幻灯片 10：其他判定方式 —— 特殊线段相等
内容：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形；有两条中线相等的三角形是等腰三角形；有两条高相等的三角形是等腰三角形。
示例：在△ABC 中，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，且 BD = CE，则△ABC 是等腰三角形。
幻灯片 11：判定与性质的区别与联系
关系
内容
区别
性质是由边相等推出角相等（等边对等角）；判定是由角相等推出边相等（等角对等边）
联系
两者互为逆定理，都建立在等腰三角形的基础上，是等腰三角形重要的组成部分
幻灯片 12：课堂练习
练习 1：在△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，判断△ABC 的形状，并说明理由。
练习 2：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，∠BAD = ∠CAD，求证：AB = AC。
设计：每题配图形，让学生独立思考完成，教师巡视指导，之后进行讲解。
幻灯片 13：总结
主要判定方法：定义法（两边相等）、等角对等边、“三线合一” 逆定理、特殊线段相等。
核心思想：通过角的关系或特殊线段关系推出边相等，从而判定等腰三角形。
注意事项：运用 “等角对等边” 时，要确保在同一个三角形中。
幻灯片 14：作业布置
基础作业：教材对应练习题，巩固基本判定方法的应用。
拓展作业：尝试证明 “有两条高相等的三角形是等腰三角形”，培养推理能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
我们知道，等腰三角形的两底角相等．反过来，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗？
？
？
已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
证明：作△ABC 的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∠????＝∠???? ，∠????????????＝∠???????????? ， ????????＝???????? ，
∴ △ABD ≌ △ACD (AAS).
∴ AB＝AC．
?
B
C
A
D
还有其它证明方法吗？请你试一试.
1.下列能判定△???????????? 为等腰三角形的是( )
?
C
A.∠????=????????? ，∠????=????????? B.∠????=????????? ，∠????=?????????
C.????????=????????=????，????????=???? D.????????=????，????????=???? ，周长为17
?
返回
已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
证明：作边BC的高线AD，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ABD和△ACD中，
∠????＝∠???? ，∠????????????＝∠???????????? ， ????????＝???????? ，
∴ △ABD ≌ △ACD (AAS).
∴ AB＝AC．
?
B
C
A
D
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
等腰三角形的判定定理：
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B＝∠C ，
∴AB＝AC（等角对等边）.
符号语言：
等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}文字语言
图形语言
符号语言
等边对等角
等角对等边
∴∠B＝∠C (等边对等角).
A
B
C
在△ABC中，
∵AC＝AB (已知)，
∴AC＝AB(等角对等边).
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B＝∠C (已知)，
它们是互逆命题.
2.把一张对边平行的纸条按如图折叠，重合（阴影）的部分是( )
B
（第2题）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.无法确定
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例1 如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
A
B
C
D
E
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC.
∴∠B＝∠C.
∴ AB＝AC（等角对等边）.
3.［2025苏州月考］如图所示，图中共有等腰三角形( )
B
（第3题）
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
返回
4.［2025扬州月考］在△????????????中，∠????=∠????=????∠????，则△???????????? 是______
三角形.
?
等腰
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5.如图，????????//????????，????????平分∠????????????，????????=????，则???????? 的长为___.
?
2
（第5题）
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变式1 如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？请证明你的结论.
A
B
C
D
E
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵ AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C.
∴∠EAD＝∠DAC.
∴AD平分∠EAC.
条件和结论与上一题有什么变化？
变式2 如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？请证明你的结论.
A
B
C
D
E
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠EAC＝∠B＋∠C，
∴∠B＝∠C＝????????∠EAC.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC＝????????∠EAC.
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC．
?
条件和结论与上一题有什么变化？
例2 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC．
求证：△ADE是等腰三角形．
A
B
C
D
E
证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∴∠ADE＝∠BAD.
∴ EA＝ED，
∴ △ADE是等腰三角形.
基本模型：角平分线+平行线 → 等腰三角形
变式 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过O点，且MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.
求证：MN＝BM＋CN.
A
N
M
C
B
O
证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO.
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO.
∴∠MBO＝∠MOB.
∴BM＝OM.
同理CN＝ON.
∵MN＝OM＋ON.
∴MN＝BM＋CN.
当△ABC分别满足下列条件时，试在其一边上找到一点P，使点P与△ABC的两个顶点构成等腰三角形.
(1)等腰三角形； (2)直角三角形； (3)钝角三角形.
P
A
B
C
(1)
P
C
B
A
(3)
P
C
B
A
(2)
解：如图所示，△BPC即为所求.
6. 如图，∠????=∠????=????????? ，点????在???????? 上，且
∠????????????=????????? ，则图中的等腰三角形有___个.
?
3
（第6题）
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7.已知：如图，????????是△????????????外角的平分线，且????????//???????? .
求证：△???????????? 是等腰三角形.
?
证明：∵????????//????????，∴∠????????????=∠????，∠????????????=∠???? .
∵????????是△????????????外角的平分线，∴∠????????????=∠???????????? ，
∴∠????=∠????，∴????????=????????，即△???????????? 是等腰三角形.
?
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8.［2025南京秦淮区月考］如图，在锐角三角形
????????????中，点????是????????边上一点，????????=???????? ，
????????⊥????????于点????，????????与????????交于点????.判断△????????????
的形状并说明理由.
?
解：△????????????是等腰三角形，理由如下：过点????作????????⊥????????于点???? ，
∵????????=????????，????????⊥????????，∴∠????????????=∠????????????.∵????????⊥????????，????????⊥???????? ，
∴????????//????????，∴∠????????????=∠????????????，∠????????????=∠????????????，∴∠????????????=∠???????????? ，
∴????????=????????，∴△???????????? 是等腰三角形.
?
返回
9.如图，????为△????????????内一点，????????平分∠??????????，????????⊥????????，垂足为???? ，交
????????于点????，若∠????=∠????????????，????????=????????，????????=????，则???????? 的长为___.
?
2
返回
10. 已知：如图，在△????????????中，∠????=????????? ，∠????=????????? ，
在射线????????上找一点????，使△????????????为等腰三角形，则∠???????????? 的度数为
________________.
?
?????????或????????? 或?????????
?
（第10题）
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（第11题）
11.如图，∠??????????=∠????????????，????????，????????分别平分△???????????? 的
内角∠????????????，外角∠????????????，连接???????? .以下结论：
①????????//????????；②∠????????????=????∠???????????? ；
③∠????????????+∠????????????=????????? ；④△????????????和△???????????? 都是等
腰三角形.其中正确的结论有__________.（填序号）
?
①②③④
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（第12题）
12.如图，∠????????????=????????? ，????是???????? 延长线上一点，
????????=?????????????????，动点????从点????出发沿????????以???????????/???? 的速
度移动，动点????从点????出发沿????????以?????????????/???? 的速度移
动，如果点????，????同时出发，用???????? 表示移动的时间，
当????=_______????时，△???????????? 是等腰三角形.
?
4或12
返回
13.如图，在△????????????中，????是???????? 延长线上一
点，????????平分∠????????????，交????????于点????，????????//???????? ，
交????????于点???? .
?
（1）求证：????????=???????? ；
?
证明：∵????????平分∠????????????，∴∠????????????=∠???????????? .
∵????????//????????，∴∠????????????=∠????????????，∴∠????????????=∠???????????? ，
∴????????=???????? .
?
（2）延长????????交????????于点????，若点????是????????的中点，求证：????????平分∠???????????? .
?
[答案] 由（1）知，????????=????????，∠????????????=∠???????????? ，
∵ 点????是????????的中点，∴????????=????????，∴????????=???????? ，
∴∠????????????=∠????????????，∴ 易得∠????????????+∠????????????=????????? ，
∴∠????????????+∠????????????=????????? .∵∠????????????=∠???????????? ，
∴∠????????????=∠????????????，∴????????平分∠???????????? .
?
返回
14.［2025南通崇川区期末］如图，在△????????????中，????????=????????，点???? 在边
????????上，且????????=????????=???????? .
?
（1）如图①，∠????=_____，∠????= _____；
?
?????????
?
?????????
?
（2）若????为线段????????上的点，过????作直线????????⊥????????的延长线于???? ，分别
交直线????????，????????于点????，???? ，如图②.
?
①求证：△???????????? 是等腰三角形；
?
证明：在△????????????中，∵????????=????????，∠????=????????? ，∴∠????????????=∠????=????????? .
在△????????????中，∵????????=????????，∴∠????????????=∠????????????=????????? ，
∴∠????????????=?????????=∠???????????? .
∵????????⊥????????，∴∠????????????=∠????????????=??????? ，∴∠????=∠????????????=????????? ，
∴????????=????????，即△???????????? 是等腰三角形.
?
②试写出线段????????，????????，???????? 之间的数量关系，并加以证明.
?
解：????????=????????+????????.证明：由①知????????=???????? ，
又∵????????=????????，????????=???????? ，
∴????????=?????????????????=?????????????????，????????=?????????????????=????????????????? ，
∴????????+????????=?????????????????=????????，即????????=????????+???????? .
?
返回
等腰三角形的判定
内容
基本模型
等角对等边
角平分线+平行线 → 等腰三角形
等腰三角形＋平行线 → 角平分线
谢谢观看！

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