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2025-2026学年第一学期浙教版九年级数学上册 第1-4章 综合检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1． 下列事件中，属于随机事件的是（　 　）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江省的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
2． 如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3． 二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　 　）
A．向下、直线x=、（，5） B．向上、直线x=、（，5）
C．向上、直线x=4、（4，） D．向上、直线x=4、（4，5）
如图，在三角形纸片ABC中，，，，
沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，
所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6． 用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2.5 B．5 C． D．
“二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张
送给好朋友小亮．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），
让小亮从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是（　 　）
A． B． C． D．
8． 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（　 　）
A． B． C． D．
抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，
且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；②；③；④；⑤（为任意实数），
其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
11．一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．
从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　．
12．已知，则的值为 ．
13．如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝　30°　．
．
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 3 m …
根据表格内容，则m的值为 　 　．
如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
如图，已知矩形，，，将延翻折的，
将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .

三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．
唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，
轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
20．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，
绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，
请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场调查分析，如果按每件50元销售
一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，
设销售单价为x元（），一周的销售量为y件．
写出y与x的函数关系式：___________（标明x的取值范围）；
设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价是多少时利润最大；
在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下，使得一周销售利润为8000元，
销售单价应定为多少元？
如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
23．如图，已知抛物线经过点三点．

求抛物线的解析式；
点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？
若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
24．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
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2025-2026学年第一学期浙教版九年级数学上册 第1-4章 综合检测试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．下列事件中，属于随机事件的是（　 　）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江省的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义解答即可．
【解答】解：A、历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意；
B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意；
C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意；
D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意，
故选：B．
2．如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
3．二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　 　）
A．向下、直线x=、（，5） B．向上、直线x=、（，5）
C．向上、直线x=4、（4，） D．向上、直线x=4、（4，5）
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上；对称轴为x=4，顶点坐标为（4，5）．
故选：D
如图，在三角形纸片ABC中，，，，
沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，
所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的平移．二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，据此即可解答．
【详解】解：将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为，
故选：D．
6．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．2.5 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了圆锥和扇形的相关计算，掌握圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长是解题的关键．
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长展开后的扇形的弧长，列方程求解．
【详解】设圆锥的底面圆半径为r，
依题意，得
解得．
故圆锥的底面半径为2.5．
故选A．
“二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张
送给好朋友小亮．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），
让小亮从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，
则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找到其中两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果，最后根据概率公式计算即可．
【详解】由题意可列表格如下：
立春 立夏 秋分
立春 立夏，立春 秋分，立春
立夏 立春，立夏 秋分，立夏
秋分 立春，秋分 立夏，秋分
由表格可知共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是．
故选C．
8．如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论．
【详解】解：∵图中四个四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
9. 如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，
当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
，，
，，，
，
，
在中，
，
，
，
故选：A．
抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，
且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：
①；②；③；④；⑤（为任意实数），
其中结论正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据图示，对称轴，可以判断的正负关系，并确定，同时根据对称轴可以确定抛物线的最大值为，由此即可求解．
【详解】解：根据图示，对称轴为，
∴，，，且，
∴，
结论①，，故原命题错误；
结论②，当时，二次函数解析式为，
∵对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在与之间，且与关于对称，
∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴当时，二次函数解析式为，故原命题正确；
结论③，
∵，
∴，故原命题错误；
结论④，
当时，二次函数解析式为，且，，
∴，即，故原命题正确；
结论⑤，
当时，抛物线有最大值，最大值为，
变形得，，且为任意实数，
当时，，不等式取等号；
当时，，故原命题正确．
综上所述，正确的有②③⑤，
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
11．一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．
从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　．
【答案】．
【分析】用红球的个数除以球的总数量即可得．
【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，共12个，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是＝．
故答案为：．
12．已知，则的值为 ．
【答案】/0.4
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
13．如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝　30°　．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD＝90°，继而求出∠CBD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAD＝∠CBD＝30°，
故答案为：30°．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 3 m …
根据表格内容，则m的值为 　 　．
【分析】由当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，结合＝﹣1，可得出当x＝1时y的值与当x＝﹣3时y的值，此题得解．
【解答】解：∵当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
又∵＝﹣1，且当x＝﹣3时，y＝0，
∴当x＝1时，y＝m＝0．
故答案为：0．
如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】/
【分析】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式且能准确识图是解题的关键．根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形的面积加上半圆面积再减去半圆面积．
【详解】解：∵
，
故答案为：．
如图，已知矩形，，，将延翻折的，
将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .

【答案】
【分析】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，其中，得到，解方程并确定，则，利用勾股定理即可求出.
【详解】解：将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形，
∴，，
，
∴，
∵
∴，
，
∴，
设，则，，其中，
，
解得或是分式方程的解，
其中不符合题意，舍去，
∴
∴，
，
故答案为：
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
的长为．
唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，
轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
【答案】该桨轮船的轮子直径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【详解】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，

在中，,
解得，
答：该桨轮船的轮子直径为．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
20．下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率
在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，
绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；
图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；
图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，
请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键．
（1）根据折线统计图，用频率估计概率即可；
（2）用丁区域的圆心角度数除360度即可；
（3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在，
∴；
（2）解：；
（3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D，
根据题意可列表如下：
A B C D
A AA AB AC AD
B BA BB BC BD
C CA CB CC CD
D DA DB DC DD
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种，
∴．
某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场调查分析，如果按每件50元销售
一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，
设销售单价为x元（），一周的销售量为y件．
写出y与x的函数关系式：___________（标明x的取值范围）；
设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价是多少时利润最大；
在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下，使得一周销售利润为8000元，
销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)，时，利润最大
(3)80元
【分析】（1）根据题意一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，可得；
（2）利用一周的销售量每件销售利润一周的销售利润列出一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并根据函数的性质求函数最值；
（3）令，求出x的值，结合投入的成本，可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
，
y与x的函数关系式为：；
（2）解：由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为9000，
S与x的函数关系式为：，当单价为70元时，利润最大；
（3）解：由题意得：，
解得：，
当时，成本，不符合题意，
当时，成本，符合题意，
故销售单价应定为80元．
如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，
连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
23．如图，已知抛物线经过点三点．

求抛物线的解析式；
点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？
若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，△BNC的面积最大为
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）用，即可得出结果；
（3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）存在，
，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
当时，有最大值为，
所以当时，的面积最大为．
24．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
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