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南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某物体做直线运动，其位移关于时间的函数是，则该运动物体在时的瞬时速度为（ ）
A. 50 B. 60 C. 35 D. 40
2. 甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻，则不同的排法总数为（ ）
A. 36 B. 30 C. 72 D. 60
3. 一批零件共有10个，其中有2个不合格，随机抽取3个零件进行检测，则至少取到1件不合格的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.15
5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少1人，则不同的分配方案的种数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 20 D. 24
7. 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6），如果抛掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直至两枚骰子向上一面的点数相同时停止.那么抛掷3次后停止的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，用，，，四个不同元件连接成一个系统，当和正常工作且和至少有一个正常工作时系统正常.已知，，，正常工作的概率分别为，，，，则在系统正常工作条件下，，同时正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 经验回归直线必过样本数据的中心点
B. 当样本相关系数时，两个变量负相关
C. 甲、乙两个回归模型的决定指数分别为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好
D. 残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高
10. 如图，在平面直角坐标系中，设，从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示他们之间的距离，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜概率和乙获胜的概率均为.现比赛局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能.已知甲正确回答的概率为，乙正确回答的概率是，则这道问题被正确回答的概率是________.
13. 已知，则________；被4除的余数为________.
14. 定义在上的可导函数，满足，且，若关于的方程有且只有1个实数根，则实数的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答）
（1）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？
（2）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法
（3）将人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同安排方法
16. 已知函数在处取得极值4.
（1）求，的值；
（2）求函数在的最大值和最小值.
17. 用甲、乙两款AI模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质效果的概率分别为，.现用甲、乙模型各自独立地智能作图3次，每次作图前后之间互不影响.记甲、乙作图达到优质效果的次数分别为，.
（1）求随机变量的分布列、数学期望和方差；
（2）求事件“”的概率.
18. 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业.某研究机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的经验回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.
（1）该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车与车主性别有关联
性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计
男性 10 35 45
女性 20 25 45
总计 30 60 90
（2）若，求与的样本相关系数，并据此判断新能源汽车销量与年份的相关性强弱.
参考公式：
（i）经验回归方程：，其中，；
（ii）样本相关系数：，若，则可判断与线性相关性很强；
（iii），其中.
附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19 已知函数.
（1）若，，求函数的极值；
（2）若，当，求证：，；
（3）若，设，若，，，求实数取值范围.
南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】 ①. 1 ②. 0
【14题答案】
【答案】或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1），
（2）最大值为4，最小值为0
【17题答案】
【答案】（1）分布列见解析，，
（2）
【18题答案】
【答案】（1）认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
（2），新能源汽车销量与年份的相关性较强
【19题答案】
【答案】（1）极大值为1，无极小值
（2）证明见解析 （3）

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