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21.2 二次函数的图象和性质
一、单选题
1．（2024九上·武汉月考）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣4）﹣1 B．y＝﹣2（x+2）﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4）﹣5 D．y＝﹣2（x+2）﹣5
2．（2020九上·宁阳期末）抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣4）2+2 B．y＝3（x﹣4）2﹣2
C．y＝3（x+4）2﹣2 D．y＝3（x+4）2+2
3．（2017九上·澄海期末）若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2）
C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）
4．（2024九下·江宁期中）将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（　　）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
5．（2024九上·夷陵期中）将抛物线平移得到抛物线，这个平移过程是（　　）
A．向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移4个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移4个单位
6．（2016九上·萧山期中）已知二次函数y=﹣ x2﹣3x﹣ ，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
7．（2012·河南）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
8．（2024九上·大足期中）已知二次函数的图象如图所示，在下列六个结论中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数的图象 （0 ） 如图 所示， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是（　　）
A．有最大值 2 ， 有最小值 -2.5
B．有最大值 2 ， 有最小值 1.5
C．有最大值 1.5 ， 有最小值 -2.5
D．有最大值 2 ， 无最小值
10．（2019八下·鼓楼期末）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为（　　）
A．1或5 B．﹣5成3 C．﹣3或1 D．﹣3或5
二、填空题
11．二次函数的最值问题，要结合　 　的取值范围来判断．
12．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝ax2-x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　 　．
13．（2024·哈尔滨模拟）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是　 　．
14．已知抛物线y=ax（x+4），经过点A（5，9）和点B（m，9），那么m=　 　
15．（2019九上·合肥月考）若抛物线 经过原点，则m=　 　.
16．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 平移后得到抛物线 .请你写出一种平移方法. 答：　 　.
三、计算题
17．（2023九上·任城月考）已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 2 2 7 14 …
（1）请直接写出抛物线的顶点坐标______；
（2）请直接写出该抛物线的解析式______；
（3）当时，的取值范围是______；
（4）当时，的取值范围是______．
18．（2024九上·吉林月考）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出此函数的开口方向、顶点坐标
19．（2024九下·武汉开学考）已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
（3）若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
四、解答题
20．（2024九上·大连月考）二次函数的图象过点，．求二次函数的解析式
21．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
22．（2024九上·南昌月考）已知二次函数y＝a(x﹣1)2+4的图象经过点(﹣1，0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
23．（2024九上·昌平期中）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
（1）①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
（2）函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
11．【答案】自变量
【知识点】二次函数的最值
12．【答案】-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
14．【答案】-9
【知识点】二次函数图象的几何变换
15．【答案】-2
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换
17．【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求二次函数解析式
18．【答案】（1）
（2）二次函数的开口向上，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质
20．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
21．【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．【答案】(1)y＝﹣(x﹣1)2+4；(2)抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
23．【答案】（1）解：①∵，，
∴，
故答案为：；
解：②∵点B是函数的图象点，
∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，
∴B点坐标为：.
（2）解：函数化为顶点式为：，∴，
∵，点是图象上一点，∴，，，
∴，
∴，∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，∴D点坐标为：，
即最小值为3，D点坐标为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
21.2 二次函数的图象和性质
一、单选题
1．（2024九上·武汉月考）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣4）﹣1 B．y＝﹣2（x+2）﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4）﹣5 D．y＝﹣2（x+2）﹣5
2．（2020九上·宁阳期末）抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣4）2+2 B．y＝3（x﹣4）2﹣2
C．y＝3（x+4）2﹣2 D．y＝3（x+4）2+2
3．（2017九上·澄海期末）若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2）
C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）
4．（2024九下·江宁期中）将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（　　）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
5．（2024九上·夷陵期中）将抛物线平移得到抛物线，这个平移过程是（　　）
A．向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移4个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移4个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移4个单位
6．（2016九上·萧山期中）已知二次函数y=﹣ x2﹣3x﹣ ，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
7．（2012·河南）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2
8．（2024九上·大足期中）已知二次函数的图象如图所示，在下列六个结论中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数的图象 （0 ） 如图 所示， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是（　　）
A．有最大值 2 ， 有最小值 -2.5
B．有最大值 2 ， 有最小值 1.5
C．有最大值 1.5 ， 有最小值 -2.5
D．有最大值 2 ， 无最小值
10．（2019八下·鼓楼期末）已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为（　　）
A．1或5 B．﹣5成3 C．﹣3或1 D．﹣3或5
二、填空题
11．二次函数的最值问题，要结合　 　的取值范围来判断．
12．（2022九上·杭州月考）已知抛物线y＝ax2-x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　 　．
13．（2024·哈尔滨模拟）平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是　 　．
14．已知抛物线y=ax（x+4），经过点A（5，9）和点B（m，9），那么m=　 　
15．（2019九上·合肥月考）若抛物线 经过原点，则m=　 　.
16．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 平移后得到抛物线 .请你写出一种平移方法. 答：　 　.
三、计算题
17．（2023九上·任城月考）已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 2 2 7 14 …
（1）请直接写出抛物线的顶点坐标______；
（2）请直接写出该抛物线的解析式______；
（3）当时，的取值范围是______；
（4）当时，的取值范围是______．
18．（2024九上·吉林月考）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出此函数的开口方向、顶点坐标
19．（2024九下·武汉开学考）已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
（3）若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
四、解答题
20．（2024九上·大连月考）二次函数的图象过点，．求二次函数的解析式
21．（2025九上·丽水期末）已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
22．（2024九上·南昌月考）已知二次函数y＝a(x﹣1)2+4的图象经过点(﹣1，0)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
23．（2024九上·昌平期中）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
（1）①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
（2）函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
11．【答案】自变量
【知识点】二次函数的最值
12．【答案】-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
14．【答案】-9
【知识点】二次函数图象的几何变换
15．【答案】-2
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位
【知识点】二次函数图象的几何变换
17．【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求二次函数解析式
18．【答案】（1）
（2）二次函数的开口向上，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质
20．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
21．【答案】（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．【答案】(1)y＝﹣(x﹣1)2+4；(2)抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
23．【答案】（1）解：①∵，，
∴，
故答案为：；
解：②∵点B是函数的图象点，
∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，
∴B点坐标为：.
（2）解：函数化为顶点式为：，∴，
∵，点是图象上一点，∴，，，
∴，
∴，∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，∴D点坐标为：，
即最小值为3，D点坐标为．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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