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21.3 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2024九上·安宁月考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
2．（2016九上·达拉特旗期末）已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞- B．k＞- 且k≠0
C．k≥- D．k≥- 且k≠0
3．（2024九上·海安期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点
C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线
4．（2024九上·兰州期中）根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（　　）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
5．（2024九下·池州模拟）二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九上·苍南期中）二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　）
A． B． C．4 D．16
7．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）一个解x的取值范围是（　　）
x
1.23
1.24
1.25
1.26
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.01
0.04
0.08
A．1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25
C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23
8．（2025·邛崃模拟）某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．对称轴为
B．关于的一元二次方程只有一个根
C．当时，随的减小而减小
D．二次函数图象的顶点坐标为
9．（2023九上·宁波期末）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九下·大冶月考）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2024九下·渑池期中）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　 　.
12．（2021九上·合肥月考）抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 　 　．
13．（2021九上·伊通期末）抛物线y＝3x2﹣3与y轴的交点坐标是 　 　．
14．（2016·大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是　 　．
15．（2017九上·宁城期末）设抛物线y= +8x-k的顶点在x轴上，则k=　 　．
16．（2025九下·昌平开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论：
①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是　 　．
三、计算题
17．（2024九上·潼南月考）（1）求一元二次方程的根；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
18．（2019九下·新乐开学考）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．
19．（2019·广东模拟）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
20．（2023九下·桐乡市开学考）已知二次函数，的图象如图所示．
（1）求y的取值范围；
（2）若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
21．（2024九上·姑苏月考）已知抛物线，根据下列条件，求值：
（1）抛物线的顶点在轴上；
（2）抛物线的顶点在轴上．
22．（2023九上·盐山月考）已知关于x的一元二次方程：．
（1）当时，解方程；
（2）若的一个解是，求k的值；
（3）若抛物线与x轴无交点，请确定k的取值范围．
23．（2024九上·北京市月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
（1）直接写出抛物线G的顶点坐标；
（2）若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
（3）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
7．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
12．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．【答案】（0，-3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】（﹣2，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】-16
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
16．【答案】②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】（1），；（2），
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
18．【答案】解：令 ， 则
解关于 的方程得 ，
设 ，
∵
∴ 或
∴ 或
解得 ， ，经检验 ， 是分式方程的根.
∴m的值为2或 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
19．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
20．【答案】（1）
（2）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
21．【答案】（1）2
（2）0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
22．【答案】（1）解：将代入
则方程为，，，
，，
故方程的解为，
（2）解：将代入得：
，∴得
（3）解：由可知，∴
∵令△＜0，则原方程无解，∴，∴，即时，抛物线与x轴无交点．
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
23．【答案】（1）
（2）或
（3）或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
21.3 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2024九上·安宁月考）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
2．（2016九上·达拉特旗期末）已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞- B．k＞- 且k≠0
C．k≥- D．k≥- 且k≠0
3．（2024九上·海安期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点坐标为 B．与x轴有两个公共点
C．当时，y随x增大而减小 D．对称轴为直线
4．（2024九上·兰州期中）根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（　　）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
5．（2024九下·池州模拟）二次函数图象如图．下列结论：①；②；③若m为任意实数，则有；④若，且，则；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九上·苍南期中）二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　）
A． B． C．4 D．16
7．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）一个解x的取值范围是（　　）
x
1.23
1.24
1.25
1.26
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.01
0.04
0.08
A．1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25
C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.23
8．（2025·邛崃模拟）某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．对称轴为
B．关于的一元二次方程只有一个根
C．当时，随的减小而减小
D．二次函数图象的顶点坐标为
9．（2023九上·宁波期末）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九下·大冶月考）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2024九下·渑池期中）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　 　.
12．（2021九上·合肥月考）抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 　 　．
13．（2021九上·伊通期末）抛物线y＝3x2﹣3与y轴的交点坐标是 　 　．
14．（2016·大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是　 　．
15．（2017九上·宁城期末）设抛物线y= +8x-k的顶点在x轴上，则k=　 　．
16．（2025九下·昌平开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论：
①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是　 　．
三、计算题
17．（2024九上·潼南月考）（1）求一元二次方程的根；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
18．（2019九下·新乐开学考）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．
19．（2019·广东模拟）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
20．（2023九下·桐乡市开学考）已知二次函数，的图象如图所示．
（1）求y的取值范围；
（2）若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
21．（2024九上·姑苏月考）已知抛物线，根据下列条件，求值：
（1）抛物线的顶点在轴上；
（2）抛物线的顶点在轴上．
22．（2023九上·盐山月考）已知关于x的一元二次方程：．
（1）当时，解方程；
（2）若的一个解是，求k的值；
（3）若抛物线与x轴无交点，请确定k的取值范围．
23．（2024九上·北京市月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
（1）直接写出抛物线G的顶点坐标；
（2）若在抛物线G上有两点，，且，直接写出n的取值范围；
（3）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
7．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
12．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．【答案】（0，-3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】（﹣2，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】-16
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
16．【答案】②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
17．【答案】（1），；（2），
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
18．【答案】解：令 ， 则
解关于 的方程得 ，
设 ，
∵
∴ 或
∴ 或
解得 ， ，经检验 ， 是分式方程的根.
∴m的值为2或 .
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
19．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
20．【答案】（1）
（2）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
21．【答案】（1）2
（2）0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
22．【答案】（1）解：将代入
则方程为，，，
，，
故方程的解为，
（2）解：将代入得：
，∴得
（3）解：由可知，∴
∵令△＜0，则原方程无解，∴，∴，即时，抛物线与x轴无交点．
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
23．【答案】（1）
（2）或
（3）或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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