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酒泉市普通高中2024～2025学年度第二学期期末考试
高一数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修第一册第六章，必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列条件中能得到的是（ ）
A. B. 与的方向相同
C ，且 D. 且
2. 从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ）
A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球
C. 都是黄球 D. 至多1个红球
3. 设为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据一样稳定
B. 若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙
C. 数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同
D. 数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4
5. 给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）．
①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面平行．
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则C等于（ ）
A. 90° B. 60° C. 120° D. 150°
7. 已知sin(α＋45°)＝，则sin2α等于
A. － B. － C. D.
8. 已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是
A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数16
C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
10. 已知向量与的夹角为，且，，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D. 在方向上的投影是
11. 下列选项中，与的值相等的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，若，则_____．
13. 已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）．
14. 在四面体中，，且，，，则该四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等腰三角形顶角的余弦值为，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．
16. 已知M、N分别是四边形边，的中点．
（1）求证：；
（2）若四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点，求证：；
（3）若四边形是边长为2的正方形，点E是边上的动点，求的最大值．
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若外接圆的面积为π，，求C；
（2）若，求面积最大值．
18. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值.
19. 如图，在四面体中，，，E为的中点，F为上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若M，N分别是，的中点，求证：平面；
（3）若，，．
①求二面角的余弦值；
②求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
酒泉市普通高中2024～2025学年度第二学期期末考试
高一数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修第一册第六章，必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##90°
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】，，．
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）4
【17题答案】
【答案】（1）或
（2）
【18题答案】
【答案】（1），75
（2）（i）；（ii）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）① ；②

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