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22.3实际问题与二次函数 （利润问题） 同步练习
2025-2026学年人教版数学九年级上册
1. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 ， 两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变，第一次购进 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，总费用为 元；第二次购进 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，总费用为 元．
（1）求 ， 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当 品牌粽子销售价为每袋 元时，每天可售出 袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低 元，则每天的销售量将增加 袋，当 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大 最大利润是多少元
2. 某水果批发商以 元/千克的价格购进 千克的某种水果投放市场，受疫情影响，该水果批发商的水果出现滞销，根据市场推测，每滞销一天，该水果的价格将上涨 元/千克，且平均每天将有 千克的水果会品质下降，假设每天品质下降的水果都能以 元/千克的价格一次性出售完，该水果最多只能滞销 天．设滞销 天后，该水果批发商将该水果一次性出售完所得的利润为 元，求 （元）与 （天）之间的函数表达式．
3. 已知某种商品每件的进价为 元，若每件按 元的价格销售，则每月能卖出 件；若每件按 元的价格销售，则每月能卖出 件．假定每月的销售量 （件）是每件的销售价格 （元）的一次函数．
（1）求 关于 的一次函数表达式；
（2）当每件的销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大 并求此最大利润．
4. 某公司试销一种成本单价为 元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于 元/件，经试销调查，发现销售量 （件）与销售单价 （元/件）可近似看作一次函数 的关系．（如图所示）
（1）根据图象，求一次函数 的解析式，并写出自变量 的取值范围；
（2）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少 最大利润值为多少
5. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价 元时每天能清洗 辆，定价 元时每天能清洗 辆，假设清洗汽车辆数 （辆）与定价 （元）（ 取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求 与 之间的函数关系式．
（2）若清洗一辆汽车定价不低于 元且不超过 元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计 元，则定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大 最大获利是多少
6. 端午节前后，某商场推广一种新式粽子出售，市场调查发现：在端午节前后各一周粽子的销售情况如图中折线 表示销量 （个）与销售时间第 天的函数关系．线段 表示每增加一天，销量减少 个；
（1）第 天的销量为 个
（2）直接写出 与 的函数关系式，并写出对应的 的取值范围；
（3）若粽子的固定成本为 元/个，固定售价为 元/ 个；
①这些天的销售中，日利润是 元的出现在第几天
②端午节过后的连续 天内，第 天捐款当天总利润的 ，第 天捐款当天总利润的 ，为保证捐款后这两天的平均日利润不低于 元，求 的最大值．
7. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱 元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱 元，每月可销售 箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 元，则每月的销量将增加 箱．设每箱牛奶降价 元（ 为正整数），每月的销量为 箱．
（1）写出 与 之间的函数关系式和自变量 的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大 最大利润是多少元
8. 某超市经销一种商品，每件成本为 元．经市场调研发现，当该商品每件的销售价为 元时，每月可销售 件，若每件的销售价每增加 元，则每月的销售量将减少 件．设该商品每件的销售价为 元，每月的销售量为 件．
（1）求 与 之间的函数解析式．
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每月的销售利润最大 最大利润是多少
9. 某汽车销售公司 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销售 辆汽车，则该辆汽车的进价为 万元；每多销售 辆，所有销售的汽车的进价均降低 万元/辆．
（1）若该公司当月销售 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元．
（2）在指定范围内，如果汽车的售价为 万元/辆．
①写出该公司当月盈利 （万元）与汽车销售量 （辆）之间的函数表达式；
②若该公司当月盈利 万元，求汽车的销售数量．
10. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出 与 之间的函数表达式．
（2）该款电子产品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
11. 某公司的化工产品成本为 元/千克．销售部门规定：一次性销售 千克以内时，以 元/千克的价格销售；一次性销售不低于 千克时，每增加 千克降价 元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于 千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润 （元）与一次性销售量 （千克）的函数关系如图所示．
（1）当一次性销售 千克时利润为多少元
（2）求一次性销售量在 千克之间时的最大利润；
（3）当一次性销售多少千克时利润为 元
12. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为 万元/件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的函数表达式是 ，其中 是正整数，当 时，；当 时，．
（1）求 ， 的值．
（2）设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且 与 满足关系式 ．
①当 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大利润是多少万元
②当 时，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，求实数 的取值范围．
13. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的 天中，第 天（，且 为整数）的售价 （元/千克）与 之间的函数表达式为 ，销量 （千克）与 之间的函数表达式为 ，已知第 天的售价为 元/千克，第 天的售价为 元/千克，设第 天的销售额为 元．
（1） 的值为 ， 的值为 ；
（2）求第 天的销售额 元与 之间的函数表达式；
（3）在试销售的 天中，销售额超过 元的共有多少天
14. 某商店销售一种进价为 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量 （双）与销售单价 （元）满足 ，设销售这种手套每天的利润为 （元）
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大 最大利润是多少
15. 我市某超市销售一种文具，进价为 元/件．售价为 元/件时，当天的销售量为 件．在销售过程中发现：售价每上涨 元，当天的销售量就减少 件．设当天销售单价统一为 元/件（，且 按 元的倍数上涨），当天销售利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于 元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元 并求出最大利润．
16. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 万元/件．
（1）如图，设第 （）个生产周期设备售价 万元/件， 与 之间的关系用图中的函数图象表示．求 关于 的函数解析式（写出 的范围）．
（2）设第 个生产周期生产并销售的设备为 件， 与 满足关系式 （）．在（）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大 最大为多少万元 （利润 收入 成本）
答案
一 解答题
1. （1） 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得，
解得
答： 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元；
（2） 设 品牌粽子每袋的销售价降低 元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，利润为 元，根据题意得，
因为 ，
所以当 品牌粽子每袋的销售价降低 元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是 元．
2. 由题意，可得滞销 天后，水果的价格为 元/千克，品质下降的水果有 千克，
．
（元）与 （天）之间的函数表达式为 ．
3. （1） （）．
（2） 设每月所获的利润为 元，
当 时， 有最大值，最大利润为 元．
4. （1） 由函数的图象得：
解得：
；
（2） 设每天获得的利润为 元，
由（1）得：
，
当 时，，
即该公司要想每天获得最大利润，应把销售单价定为 元/件，最大利润为 元．
5. （1） 设 与 之间的函数关系式为 ．
由题意可知 解得
与 之间的函数关系式为 ．
（2） 设汽车清洗店每天获利 元．
由题意，得 ．
，且 为整数，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
答：定价为 元或 元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是 元．
6. （1） 略
（2） 略
（3） 略
7. （1） ，，且 为整数．
（2） 设利润为 元，由题意得，
整理得，
且 ，
当 时， 有最大值 ，
售价为 （元/箱），
答：当定价为 元/箱时，每月牛奶销售利润最大，最大利润是 元．
8. （1） 根据题意，得 ，
与 之间的函数解析式为 ．
（2） 设每月的销售利润为 元，由（），知
当该商品每件的销售价为 元时，每月的销售利润最大，最大利润是 元．
9. （1）
（2） ①每辆汽车的利润为 ．
当月盈利 （万元）与汽车销售量 （辆）之间的函数表达式为 ．
②当 时，．
解这个方程，得 （不合题意，舍去），，
即汽车的销售数量为 辆．
10. （1） ．
（2） 销售单价定为 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 元．
11. （1） 根据题意，
当 时，，
当一次性销售 千克时利润为 元．
（2） 设一次性销售量在 千克之间时，每千克销售利润为 ，
，，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
一次性销售量在 千克之间时的最大利润为 元．
（3） ①当一次性销售量在 千克之间时，利润为 元，
，解得 ，．
②当一次性销售不低于 千克时，均以某一固定价格销售，
设此时函数表达式为 ，由（）知，
当 时，，
．
把点 的坐标代入 得 ，解得 ，
当一次性销售不低于 千克时函数表达式为 ，
当 时，则 ，解得 ．
综上所述，当一次性销售 千克或 千克或 千克时利润为 元．
12. （1） 把 时，； 时， 代入 ，
得 解得
（2） ①设第 个生产周期获得的利润为 万元，由（）知，
当 时，，
，，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
工厂第 个生产周期获得的利润最大，最大利润是 万元．
②当 时，，
．
．则 与 的函数图象如图所示．
由图象可知，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，
当 时 ，
当 时，．
的取值范围 ．
13. （1） ；
（2） 当 时，；
当 时，．
．
（3） 当 时，，此时当 时， 有最大值 ，即当 时，；
当 时，令 ，得 ，此时整数 可取 ，，，，，，．
销售额超过 元的共有 天
14. （1） ．
（2） 当销售单价定为每双 元时，每天的利润最大，最大利润为 元．
15. （1） ，
与 的函数关系式为 ．
（2） 要使当天销售利润不低于 元，则 ，
令 ．
解得 ，．
，
抛物线的开口向下，
当天销售单价所在的范围是 ．
（3） 每件文具利润不超过 ，
，解得 ，
文具的销售单价范围为 ．
由（）得 ，
对称轴为直线 ，
在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大．
当 时，取得最大值，此时 ，
即每件文具售价为 元时获得最大利润，最大利润为 元．
16. （1） 由图可知，当 时，；
当 时， 是关于 的一次函数，设 ，
则 解得
所以 ．
所以 关于 的函数解析式为 ．
（2） 设第 个生产周期工厂创造的利润为 万元，
①当 时，，
所以由一次函数的性质可知，当 时，（万元）；
②当 时，，
因为 ，
所以当 时，（万元）．
综上所述，工厂在第 个生产周期创造的利润最大，最大是 万元．

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