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第二章　不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
情境1：在一个限速为 40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘察，测得甲车的刹车距离略超过 6 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速 km/h 之间的关系分别为 .
问题：判断甲、乙两车有无超速现象.
要解决上述问题，需要求出甲乙两辆车的速度范围，即：.
思考：我们该如何求解这类不等式呢？
情景与问题
根据前面学习过的不等式可知，下面这些也是一元二次不等式.
一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中 是常数，且
新知讲解
知识点 1：一元二次不等式的解法
同时大于零或同时小于零，即 或 ；
异号时，即 或 .
思考：若，则需要满足什么条件？若，又要满足什么条件？
新知讲解
解：（1）
所以不等式的解集为：.
或
（2）
所以不等式的解集为：.
新知讲解
问题1：求解下列不等式.
（1）； （2）.
或
如果，则不等式的解集是， 不等式的解集是.
新知讲解
归纳总结：一元二次不等式的解法——因式分解
例1：求不等式的解集.
转化
因式分解
>0
典例分析
，
所以解集为
思考：若一个一元二次不等式不能因式分解，要怎么求解呢？
分析：一个实数的平方是一个非负数
问题2：通过代入数值验证的方法，猜测下列不等式的解集.
.
； ； .
，
新知讲解
思考：通过上面几个问题对求解一元二次不等式有什么启发？
配方法：
配方转换
解：，
；
两边开平方得：，即 或
解得： 或 ；
原不等式解集为：.
例2：求解下列不等式的解集.
； ；
； .
典例分析
范围取两边
.
，
两边开平方得： ，即；
解得：，原不等式解集为：；
范围取中间
典例分析
，
一个实数的平方是一个非负数，即只要不等式就成立；
原不等式解集为：.
例2：；；
；
，
一个实数的平方是一个非负数不难看出该不等式恒成立原不等式解集为：
，的系数不为 1，消系数，可得.
典例分析
例3：求不等式 的解集.
解：由题意知，分母不能为零，即 则，
又不等式两边同乘以，
得且，，
解得不等式解集为.
典例分析
一元二次不等式 通过配方总可以变式为：
或 的形式，
再借助的正负等知识，可以得到不等式解集.
新知讲解
归纳总结：一元二次不等式的解法——配方法
练一练：求下列不等式的解集.
（1）； （2）.
解：（1） 则，不等式两边同乘以，得：
，解得解集为：；
（2） 则，不等式两边同乘以，得：
，即，
解得解集为：.
当堂检测
课堂总结
回顾：结合本节课所学知识，说说一元二次不等式有哪些解法？

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