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(共18张PPT)
3.1.3函数的奇偶性（1）
故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！
趣味情景
1.理解函数的奇偶性的含义.(难点）
2.掌握判断函数的奇偶性的方法．（重点、难点）
3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性.
学习目标
思考1：填写下表，观察指定函数的自变量互为相反数时，函数值具有什么关系.
9
4
1
1
4
9
1
1
上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值和时，对应的函数值相等.即
探究点1 偶函数的定义
课堂探究
偶函数
一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意的一个,都有,且
则称为偶函数.
追问：对于定义在上的函数,若,则函数一定是偶函数吗
提示:不一定,仅有不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.
形成概念
思考2：根据初中学过的知识，点关于轴的对称点是多少？
点关于轴的对称点为
思考3：画出的图象并思考偶函数的图象具有什么特征呢？
因为点与都是函数图象上的点.根据偶函数定义，点又可以写成,因此点和点关于轴对称.反之，结论也成立.
()
y
o
( )
P
Q
偶函数图象关于轴对称
课堂探究
追问：根据偶函数图象的特征，你能否画出函数的图象？
的定义域是
当时,可以画出轴右侧的图象;
当时,根据图象关于轴对称即可画出完整图象.
课堂探究
思考1：填写下表，观察指定函数的自变量互为相反数时，函数值具有什么关系.
-27
-8
-1
1
8
27
-1
1
上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值和时，对应的函数值也为相反数.即
探究点2 奇函数的定义
课堂探究
奇函数
一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意的一个,都有,且
则称为奇函数.
追问：对于定义在上的函数,若,则函数一定是奇函数吗
提示:不一定,仅有不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是奇函数.
类比偶函数的定义，你能给奇函数下一个定义吗？
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.
形成概念
思考2：根据初中学过的知识，点关于原点的对称点是多少？
点关于原点的对称点为
思考3：画出的图象并思奇函数的图象具有什么特征呢？
因为点与都是函数图象上的点.根据奇函数定义，点又可以写成,因此点和点关于原点对称.反之，结论也成立.
P
Q
奇函数图象关于原点对称
y
o
课堂探究
根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
课堂训练
【总结提升】奇函数与偶函数定义中的三性
(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个都成立的；
(3)可逆性： 是奇函数， 是偶函数.
与都属于定义域，否则不具有奇偶性
课堂小结
例1 判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）；（2）；
（3）； （4）.
【解析】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称
又因为
所以，函数是奇函数.
（2）因为函数的定义域为，关于原点对称
又因为
所以，函数是偶函数.
当为正数时，为偶函数；
是奇函数
典例精析
（3）因为函数的定义域为，关于原点对称
又因为，所以且
所以，函数既不是奇函数也不是偶函数.
且
则称是非奇非偶函数.
（4）因为函数的定义域为，不关于原点对称
所以，函数既不是奇函数也不是偶函数.
有没有既奇又偶的函数呢？
若且
则，从而
只要函数定义域关于原点对称，对应关系为，则该函数既是奇函数又是偶函数.
典例精析
定义法判断函数奇偶性的一般步骤：
（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是和对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.
【总结】
（2）验证 ，或者.
（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.
判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法（解答题证明）
按照奇偶性分类：
奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数
课堂小结
例2 已知奇函数的定义域为,且,求证：.
【解析】因为是奇函数，所以
即,所以,因此
典例精析
跟踪训练
判断函数奇偶性.
【解析】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称
又因为
所以，函数是奇函数.
课堂训练
定义域
函数的奇偶性
判断方法
关于原点对称
偶函数关于y轴对称
奇函数关于原点对称
图象特点
定义法
图象法
知识小结

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