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宁远一中崇德学校高二2025年期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
2．设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
5，若直线与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
6，双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
7．若数列的通项公式为，则（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
8．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9，下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
10．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
11，若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．化简：_________.
13，已知函数在时取得最小值，则________．
14．若，且，则的值等于_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.
（1）求的值；
（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.
16．已知函数.讨论的单调性；
17．如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证平面．
18，2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，.
19．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.
答案
1．若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1
2．设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的中点坐标为，圆的半径为，
所以圆的方程为.故选：A.
3．已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题，为假命题，则为真命题，满足，解得；命题为真命题，由，当且仅当时等号成立，可知，故实数a的取值范围为，
故选：C.
4．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】B
【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B.
5，若直线与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0），所以.故选C
6，双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】双曲线的，
点在双曲线的右支上，可得，
点在双曲线的左支上，可得，
由可得在双曲线的左支上，可得，即有.　故选：B.
7．若数列的通项公式为，则（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A.
8．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，则，
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为.故选：C.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9，下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,故选：ACD
10．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解
【答案】ABC
【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；
对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误；
对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.
故选：ABC.
11，若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：ABC
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．化简：_________.
【答案】
【解析】
则
所以故答案为：.
13，已知函数在时取得最小值，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得
14．若，且，则的值等于_________.
【解析】由可得，
即，解得或（舍）.
，，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.
（1）求的值；
（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.
【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.
【解析】（1）图知：，因为，所以，解得：.
（2）.所以，这段时间水深的最大值是.
16．已知函数.讨论的单调性；
【解析】函数，定义域为，，
当时，.
故在定义域上单调递增，此时无减区间.
当时，令，得；
当时，，故单调递增；
当时，，故单调递减.
综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题
（1）求证： （2）求证平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，
则，，，，，
故，，故，故.
（2），故，故，
又，，故平面.
18，2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量.
（1）求的概率；
（2）求的数学期望；
（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量，则，，，.
【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理.
【解析】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，
所以，
所以，
故
（2）由题意可知，所以.
（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.
19．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，，故，
又当时，，
故所求的切线方程为，即.
（2）由题意，，
令，得或，
故当时，，当时，，当时，
故当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值.
若函数有3个零点，实数满足，解得，
即实数的取值范围为.

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