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2024-2025学年山西省运城市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.设函数，则( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数定义域是，且是偶函数，对任意，，且都有成立，且，则的解集是( )
A. B.
C. D.
7.命题：幂函数在上单调递减命题：当时，恒成立若，均为真命题，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型其中为自然对数的底数拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如表：
由上表可得经验回归方程，则( )
A.
B. 模型中
C. 计算得，则在温度时，产卵量的残差为
D. 当时，蝗虫的产卵量大约为
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是以周期的周期函数
C. 的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
13.已知函数是偶函数，则______．
14.已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设命题：，使得不等式恒成立；命题：使得不等式成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
写出命题的否定；
若命题为假命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活在教育领域，的赋能潜力巨大目前，比较常用的生成工具有：夸克，豆包，，迅捷某校为丰富老师的教学，组织成立四个项目小组分别研究这四大工具的使用优点和缺点，学校计划采取自愿报名的形式录取各项目组成员，由于报名人数超过项目组计划数，将从报名的老师中采用随机抽取的方法确定最终成员下表记录了四个组的计划人数和报名人数．
项目组 夸克 豆包 迅捷
计划人数
报名人数
张老师报名参加这四个组，记为他最终被录取的项目组个数，已知张老师至少获得一个项目组录用的概率为，获得个项目组录用的概率为．
求；
求的值及张老师最终被录取的项目组个数的数学期望．
17.本小题分
定义在上的奇函数有最小正周期为，且满足，当时，．
求在上的解析式；
若方程在上有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了年全民健康体重管理行动计划，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立健康生活方式，实现长期体重管理结合健康中国建设工作实际和健康中国行动推进情况，决定将健康体重管理行动、健康乡村建设行动和中医药健康促进行动纳入健康中国行动，助力公众摆脱肥胖困扰，迈向健康生活为了解居民体育锻炼惰况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查统计其中名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
每周次
每周次
每周次及以上
若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为，，取随机变量，求的值；
已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式：，．
附：
19.本小题分
经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．
已知函数，且，求的值；
证明：函数图象的对称中心为；
求函数的对称中心及的值．
参考答案
1.
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14.
15.若为真命题，则对，，
由于函数在区间上单调递增，
所以时，，所以；
的否定为：，不等式成立；
若为假命题，则“，不等式成立”为真命题，
那么对于，即可．
因为，，
所以，解得．
16.由于事件“张老师至少获得一个项目组录用”与事件“”是对立的，
所以张老师没有获得项目组录用的概率是
；
设张老师被夸克，豆包，，迅捷各项目组录用依次记作事件，，，，
由题意可知，；
又，解得，
的所有可能取值为，，，，；
则
，
，
，
所以的分布列为：
．
17.定义在上的奇函数有最小正周期为，当时，．
当时，，则，
因为为奇函数，则；
因为为上的奇函数，则，
由题意得，
则，
又因为函数有最小正周期，
所以；
设，，且，则，，
则，
即，则在上单调递增，
则；
利用奇函数性质可得，在上也单调递增，且，
画出图象如图所示，
由图象可知，或或时，与的图象有交点，
即方程在上有解，故．
18.列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
则，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于；
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的人中，年龄在，内的人数分别为，，
根据题意可知，的所有可能情况为，；，；，，
；；；
所以；
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件，，，
星期天选择跑步为事件，则，，，
，，，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为．
19.已知函数，且，
令，定义域为，
又，所以为奇函数，
则函数的图象关于点对称，
则，则，
又，所以．
证明：因为，
令，则，
易知的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，
则函数图象的对称中心为．
已知函数，
设的对称中心为，
由已知得满足，
即，则，
整理得：，
所以：，解得：，，
即的对称中心为，
所以，
得：，
所以．
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