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2024-2025学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：
下列叙述正确的是( )
A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学
B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学
C. 在犯错概率不超过的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关”
D. 在犯错概率不超过的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知随机变量服从正态分布，记函数，则( )
A. B. C. D.
7.对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是( )
A. 图、图两组数据都具有线性相关关系 B. 图数据正相关，图数据负相关
C. 图相关系数小于图相关系数 D. 图相关系数和图相关系数之和小于
8.已知随机事件，发生的概率分别为，，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为，设，若在区间内共有个零点，则在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.一元二次不等式的解集为______．
11.设随机变量，则 ______．
12.若函数，且是偶函数，且，则 ______．
13.已知变量和的统计数据如表
若，线性相关，且经验回归方程为，则______．
14.若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为______．
15.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知关于的不等式．
若，求不等式的解集；
Ⅱ若不等式的解集为，
求实数，的值；
讨论关于的不等式的解集．
17.本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，在年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明分钟内包了个粽子，其中豆沙粽个，红枣粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取个，设表示取到的豆沙粽个数求
的分布列；
Ⅱ的期望；
Ⅲ求至少取到一个豆沙粽的概率．
18.本小题分
已知函数在区间上有最大值和最小值．
求，的值；
Ⅱ若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
Ⅱ求函数的单调区间；
Ⅲ在区间上有两个零点，求的取值范围．
20.本小题分
某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有折、折的奖券各张，折、折的奖券各张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取张奖券，最终餐厅将在结账时按照张奖券中最优惠的折扣进行结算．
若该自助餐厅有，两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率；
求一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率；
若自助餐的原价为元位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望．
参考答案
1.
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14.
15.
16.当时，不等式为，
即，解得或，
所以不等式的解集为．
Ⅱ已知解集为，即的解集为，
说明二次函数的开口向下，且方程的根为和，
所以，，联立解得，．
由，，得，不等式化为，即，
因为方程的根为和．
所以当时，，不等式的解集为；
当时，不等式为，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
17.【答案】根据题意可得，
所以的分布列为：，，，；
Ⅱ由及超几何分布的期望的结论可得的期望为；
Ⅲ由可知由至少取到一个豆沙粽的概率为．
18.函数，对称轴为．
因，函数图象开口向上，故在单调递增．
时，，又最小值为，则，得．
时，，代入，最大值为，即，得．
由得，在单调递增，．
存在使对任意成立，即对任意成立，
等价于对任意成立．
令，，则．
，解得．
，解得．
故．
19.因为，
所以，
所以又．
所以切线方程为即．
Ⅱ因为，
由，得，由，得或，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
Ⅲ由Ⅱ可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以在区间上有两个零点，即在上有两个解，
可得，
即的取值范围为：．
20.设“第次去餐厅用餐”，“第次去餐厅用餐”．
根据题意得，，，
则，
故顾客甲第二次去餐厅用餐的概率为．
从张奖券中任选张有种方法，
取到的折扣均不相同的取法有种，
所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为．
由题意，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为


所以 ．
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