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2024-2025学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应点的坐标为，则的共轭复数对应的点坐标为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，给出下列四个结论：
；；平面；平面．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.已知菱形的边长为，将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
9.函数，是( )
A. 奇函数，且存在最大值 B. 奇函数，且存在最小值
C. 偶函数，且存在最大值 D. 偶函数，且存在最小值
10.设，为平面向量，定义运算，已知向量，，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数满足，则______．
12.在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于轴对称，且，则，的一组取值可以为 ______； ______．
13.已知圆柱形水杯的底面半径为，侧面积为，则水杯的容积约为______精确到，水杯壁厚度忽略不计
14.如图，在矩形中，，，点在边上．
若，则______；
的取值范围是______．
15.如图，在正方体中，点在正方形及其内部运动给出下列四个结论：
存在无穷多个点，使得；
对任意点，与均为异面直线；
到直线和距离相等的点存在且唯一；
对任意点，平面与平面不可能垂直．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点
求证：平面；
求证：平面．
18.本小题分
在中，已知．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分．
19.本小题分
已知函数的一个零点为．
求；
当时，若的值域为，求的取值范围．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
求证：；
求证：直线不可能与平面平行；
空间中是否存在球，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心的位置结论无需证明；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数的定义域为若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质．
判断，是否具有性质，并说明理由；
已知具有性质，且不恒为设证明：若为有限集，则中的元素个数为偶数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 答案不唯一
13.
14.
15.
16.，，故，，
则；
由知，，
．
17.证明：因为在直三棱柱中，平面，
平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面．
取的中点，因为为的中点，连接，，
所以，且，
因为为的中点，，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
18.，
因为，所以，
故，
故；
因为，所以，
因为在上单调递减，故，
但条件，不合要求，故不能选条件；
选、，由余弦定理得，即，
解得或舍去，
满足，存在，
此时．
19.由题意得
，
，即，解得；
由得，
当时，可得，
若的值域为，则，
解得，即实数的取值范围为．
20.证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
证明：过点作交于点，连接，如图所示：
因为平面，且，
则平面，
又平面，所以，
即，
由可知平面，
又平面，
所以，
即，且
所以四边形为直角梯形，，
与为腰，
所以的延长线与的延长线必交于一点，
又平面，
所以直线与平面相交，
即直线不可能与平面平行；
存在，球心位于的中点处，理由如下：
理由如下：将四棱锥的补成长方体，如图所示：
根据长方体外接球的球心位于体对角线的交点上，
则四棱锥的外接球心位于长方体的体对角线的交点处，
该位置也是的中点处．
故存在，球心位于的中点处．
21.具有性质，不具有性质，理由如下：
令，，
显然和是两个周期均为的不同的偶函数，
且，
所以具有性质；
对于，假设其具有性质，
由性质的定义可得的周期为，
但，，
所以，与函数具有性质矛盾，
所以不具有性质；
证明：若，则，
所以，
又的周期为，即，
所以，
所以也是的周期，且，
所以，
假设，
则对任意，，
则
，
所以，即，
故对任意，成立，与不恒为矛盾，
所以，
故若为有限集，则中的元素个数为偶数．
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