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2024-2025学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知数列，满足，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导正确的是( )
A. B. C. D.
4.某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是( )
A. B. C. D.
5.已知在上递增，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
6.年月日至月日，第届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤个项目安排在个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.若函数有极值，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲同学通过数列，，，，，的前项，得到该数列的一个通项公式为，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是( )
A. B. C. D. 该数列为递增数列
10.已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 有个极值点
B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值
D. 在上单调递减
11.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形边长为个单位的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则( )
A. 三次骰子后所走的单位数可以是 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C. 三次骰子的点数之和超过的走法有种 D. 回到点处的所有不同走法共有种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和满足，则的通项公式为______．
13.甲、乙等位大学生分配到所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有______种
14.关于的方程且有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
设，求．
16.本小题分
已知等比数列满足，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
求．
17.本小题分
现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
名老师之间必要有男女学生各人．
18.本小题分
如图，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内如图，点在线段上不含端点．
证明：；
若．
当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的大小；
设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
19.本小题分
若函数的图象上存在三点，，，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．
Ⅰ若函数在区间上的中值点为，证明：，，成等差数列．
Ⅱ已知函数，存在，使得．
求实数的取值范围；
当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：
参考答案
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14.
15.解：等差数列的前项和为，满足，，
设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，
．
由可得，
．
16.解：设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得或舍，
所以；
．
17.解：由题意可得共种不同的站法．
先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的名男学生有种站法，所以共有种不同的站法．
先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
18.解：证明：取中点为，连接，，
因为，，所以，，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
取的中点，因为为等边三角形，为等腰直角三角形，，
所以，，且，
由，则，
故E，
如图建立空间直角坐标系，
得，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，
令，则，，
故．
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角为．
设平面的法向量为，，，
则，
取，则，，
故，
，则，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
故的取值范围是．
19.解：证明：由题意知．
因为，
又，
所以，即，
所以，，成等差数列．
，
设，则，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减．
故，
且当时，，当时，．
若，则在和上分别存在一个零点，记为，，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减，
故存在，满足；
若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；
综上，的取值范围是．
证明：因为，所以中值点满足，
由知当时，即有两个零点，，
所以在区间上所有可能的中值点即，．
先证明：
由，得．
要证，即证．
设，
则．
设，当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递减．
所以当时，，即．
因为，所以，即，
又，，再结合在上单调递减，
可得，从而．
令，得，
所以．
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