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2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前位的同学才能进入决赛若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这位同学的预赛积分的( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
3.甲、乙两名篮球运动员在场比赛中的单场得分用茎叶图表示如图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好图，则下列结论正确的是( )
A. 甲得分的极差小于乙得分的极差
B. 甲得分的第百分位数大于乙得分的第百分位数
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
D. 甲得分的方差小于乙得分的方差
4.已知点在圆上，点在圆上，且，为坐标原点对于以下两个命题，判断正确的是( )
在坐标平面内存在点，使得恒成立
三角形面积的最小值为
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的准线方程为______．
6.直线：与直线：垂直，则______．
7.斜率为的直线的倾斜角为______．
8.直线与直线的夹角为_____．
9.直线：与圆：相交所得的弦长为______．
10.在由，，，这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______．
11.直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______．
12.设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件，第二次没有摸到黑球是事件，则的值为______．
13.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为______．
14.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
15.已知某次数学的测试成绩服从、的正态分布，若小明的成绩不低于分，那么他的成绩大约超过了______的学生精确到．
参考数据：，，
16.已知双曲线的左、右焦点为、以为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于，且，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，点在曲线：上．
若点在第一象限内，且，求点的坐标；
求的最小值．
18.本小题分
已知圆：及直线：．
求过点的圆的切线方程；
找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；
求直线被圆截得的最短弦的长及此时的直线方程．
19.本小题分
某区年月日至月日的天气预报如图所示．
从月日至月日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
根据天气预报，该区月日的最低气温是，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如月日的最高温度为，最低温度为，当天的温差为，记月日至日这天温差的方差为，月日至日这天温差的方差为，若，求月日天气预报的最高气温；
从月日至月日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望．
20.本小题分
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
21.本小题分
已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于、两点．
当直线过点，且时，求的周长；
已知点，若直线、的斜率之和为，且，当、分别与轴交于点、时，求的面积；
已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：设，则．
由题意得，
化为．
联立，
又，，
解得．
点的坐标为．
，其中．
当时，．
18.根据题意，圆：，其圆心，半径为，
设点为点，有，
则点在圆上，所以设要求切线斜率为，
则，则；
所以直线方程为，即；
变形为，
令，解得，，
所以直线恒经过点，
因为，所以点在圆内部，
所以直线与圆恒相交．
当直线被圆截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直，
设弦的斜率为，则，变形可得，
弦方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以弦长为．
19.解：设事件“从月日至月日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”，
连续统计三天共有个样本点，事件共有个样本点，
所以；
因为月日至日这天温差分别为、、、，
所以，设月日的温差为，
则月日至日这天温差分别为，，、，
所以，
所以，解得，
所以月日这天最高气温是；
从月日至月日，一天温差不超过的共有天，
随机变量的分布列是：
随机变量的期望．
20.解：由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，
所以，
解得；
由题意，，，所以，
直线的方程为，
设的方程为，，，
联立直线与椭圆的方程，
代入整理得，
，可得，
由韦达定理可得，，
故
，
解得，
所以的标准方程为．
由题，设的方程为，
由题意，，且，
任取上一点不与点重合，则，，
设，则，
直线的方程为，故，
代入得，
因为，解得，
由对称性，不妨设，
代回直线方程可解得，
而点位于上，所以
，
为上任一点，所以为定值，
化简得，
设，为上任一点，
即有解．
整理得，，
解得，
所以，
故C的长轴长．
21.解：根据双曲线定义得：，，
两式相加得，
即，
由已知得，
所以的周长为；
设直线、的倾斜角分别为、，
由已知得，
不妨设，
则，
则，
可求得，，
所以直线，令，解得，
直线，令，解得，
所以的面积为；
设，，由，知，
若直线斜率不存在，则：，此时，与点重合，不符题意，舍．
设直线方程为：，
与双曲线，
联立化简得，
，显然成立，
设交点、，
由韦达定理：，
由，得，
从而，即，
将韦达定理代入，
化简得，
因为，即，
由已知在双曲线上，得，
从而，
得代入式，
，
化简得，
即，
解得，
点的坐标为．
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