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2024-2025学年宁夏银川二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球，则两次都摸到红球的概率( )
A. B. C. D.
4.在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则．
A. B. C. D.
7.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图斜二测画法为，其中，则此三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有四个结论：
与是异面直线；
，，相交于一点；
过，，的平面截正方体所得的图形为平行四边形；
过，，的平面截正方体所得的图形为五边形；
其中错误的个数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的第百分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.设，，是一个随机试验中的三个事件，且与互斥，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若事件，相互独立，则
C. D.
11.已知正四面体的棱长为，则( )
A. 正四面体的外接球表面积为
B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则在上的投影向量的坐标为______．
13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点，在处
测得处的无人机和塔顶的仰角分别为，无人机距地面的
高度为米，且在处无人机测得点的仰角为，点，，
在同一条直线上，则该塔的高度为______米
14.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，，是中线，求的长．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点．
求证：平面；
是线段的中点，证明：平面平面．
17.本小题分
新高考实行“”选科模式，其中“”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
写出所有选科组合的样本空间从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率．
18.本小题分
随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如图频率分布直方图：
求图中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
；
．
19.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：；
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，由正弦定理可知：，
由，故，
所以，，，
所以，又，所以；
根据数量积的定义，由，
得，又，
在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
所以．
16.证明：在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点，
连接必与相交于中点，
，
面，平面，
面，得证；
由点，分别为，中点，可得：，
面，平面，
平面，
又由可知平面，
且，，平面，
平面平面，得证．
17.解：依题意，样本空间为物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，，所以．
记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，
事件“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由可知，，
所以．
18.解：由频率分布直方图可得，
解得，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是．
，
．
证明：，即得证；
，
，
，
同理可得，
，
，即得证．
19.解：证明：点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
，、平面，
平面，
平面，
；
由题意可得、与都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得．
故点到平面的距离为．
设直线与平面所成的角为，
，平面，
到平面的距离即为到平面的距离，
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时，
由题意可知：，，
平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由面积相等，
即，
解得，
，，
此时在线段上靠近点的处，，．
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