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2024-2025学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数( )
A. B. C. D. 无法确定
3.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.高二某班有名学生干部，其中男生名，女生名若从中随机选出名学生干部，则恰好有名男生的概率为( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. B. C. D.
8.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得经验回归方程为，则 ______．
11.若，则实数的取值范围是______．
12.展开式中常数项为______．
13.某校甲、乙两个班级的同学于同一社区开展民意调查工作已知参加活动的甲、乙两班人数之比为：，其中甲班女生占比为，乙班女生占比为，那么该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为______．
14.勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为______．
15.已知函数有零点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值．
17.本小题分
随着电影哪吒之魔童闹海热映，其不仅标志着我国动漫电影的技术水平达到行业领先地位，进一步激发了观众的爱国情怀，更为国产动漫产业发展注入强劲动力为探究观众对该电影的喜好是否与性别相关，某影院对名观众男女各人展开调查，结果显示喜欢该电影的观众共有人，其中喜欢该电影的男生人数比女生少人．
完成下面的列联表；
喜欢 不喜欢 总计
男生
女生
总计
根据小概率值的独立性检验，分析调查的数据，能否据此推断是否喜欢该电影与性别有关联？
附：临界值表如下：
18.本小题分
已知函数，且．
判断的奇偶性，并证明；
当时，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段第二阶段由该队的另一名队员投篮次，每次投篮投中得分，未投中得分该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．
若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率；
若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望．
20.本小题分
已知函数．
若曲线在点的斜率为，求的值；
当时，证明：；
当时，，求的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.由题意得，
由，可得或，由，可得，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
由已得函数在上单调递减，在上单调递增，
因，则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
故当时，函数取得最大值为．
17.列联表如下：
喜欢 不喜欢 总计
男生
女生
总计
，
由小概率值的独立性检验可知，不能据此推断是否喜欢该电影与性别有关联．
18.由可得，
因，
所以，
故函数为奇函数．
当时，，
因函数在上单调递增，又函数在定义域内单调递增，故函数在上单调递增；
又，且，故原不等式等价于，
即，即可得，故实数的取值范围为．
19.因为甲、乙所在对的比赛成绩为分，
则甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次，
又由甲在第一阶段至少投中一次的概率为，
乙在第二阶段恰好投中一次的概率为，
所以甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率．
设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，则，，，，
当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中三次，
可得；
当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中两次，
可得；
当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中一次，
可得；
当时，即乙参加第一阶段比赛，三次未中或乙参加第一阶段比赛，
至少投中一次且甲第二阶段未投中可得，
所以随机变量的分布列为：
所以成绩的期望为．
20.由题意可得，
则，
曲线在点的斜率为，可得，
整理得，．
证明：当时，，，
要证，即，即证，
令，，可得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，也时最小值，且，
，即恒成立．
由，
设，
可得，
当时，，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
成立；
当时，若，可得，则在上递增，
在上，，即在上，，
在上单调递减，，不符合题意，舍去；
当时，在上恒成立，在上单调递减，
则，即在上单调递减，
，不符合题意，舍去，
综上，实数的取值范围为．
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