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2024-2025学年四川省成都市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆柱的底面半径为，体积为，则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.为了得到的图象，只需要将上所有点( )
A. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
B. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
C. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍
D. 向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的
6.如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，点，分别为，的中点，则异面直线和所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.设的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，若，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8.如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得在的南偏东的方向上，在的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的命题，错误的是( )
A.
B. 在边长为的等边中，
C. 若，则
D. 若，则向量，的夹角是钝角
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 直线为的一条对称轴
D. 若为偶函数，则，
11.如图，在直三棱柱中，，，，侧棱，是棱上任意一点，则( )
A. 三棱柱的表面积为
B. 周长的最小值为
C. 三棱柱的最大内切球的体积为
D. 三棱柱的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则 ______．
14.已知是锐角的外心，若，且，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，．
求与的夹角的余弦值；
求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧棱底面，且，．
证明：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知向量，，设函数．
求的最小正周期；
求的单调递增区间；
在中，角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，是中点，过作平面，且在平面内．
求证：；
求证：平面平面；
若，且与平面所成角的正切值为，求二面角的大小．
19.本小题分
如图，在中，，，点为和的交点，设，．
已知，，求，的值；
若，，与的夹角为，求；
若，，在边上，，为，的夹角，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.已知平面向量，，，
则，，
则，，，
则与的夹角的余弦值为；
由题意可得：，
则向量在向量上的投影向量的坐标为．
16.证明：因为底面是菱形，所以，
因为底面，底面，
所以，又因为，平面，平面，
所以平面．
设点到平面的距离为，
由题可知为三棱锥的高，
则，
所以三棱锥的体积为，
又因为，
且，
所以，
解得，
所以点到平面的距离为．
17.由题意，
，
故的最小正周期；
令，
可得，
故的单调递增区间为；
由，可得，即，
由，可得，
所以，则，
又，所以，
又，由正弦定理，可得，
又，
则．
18.证明：由平面，平面，平面平面，
所以；
证明：因为平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
如图：连接，由可知，，是中点，所以是中点，
又，所以，由可知平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，
所以与平面所成角为，
所以，
由，所以，所以，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
．，，．
设平面的一个法向量为，
则，
令，所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，所以，
设二面角的平面角为，
所以，
所以．
19.因为，，，，
所以，
，
所以，，
所以，解得；
因为，，与的夹角为，
所，
由知，，，
所以；
由知，，
所以，
设，与的夹角为，其中，
则
，
而，因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，又，
解得，
所以的取值范围为．
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