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2024-2025学年湖北省仙桃市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量满足其中为常数，则( )
A. B. C. D.
3.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁、戊、己名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.从装有个白球，个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球若每取出个红球得分，每取出个白球得分，按照规则从盒子中任意抽取个球，所得分数的期望为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量，均服从两点分布，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的线性相关性越弱
B. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果更好
C. 若，则
D. 若，，则
10.设，则( )
A.
B.
C. ，，，，中最大的是
D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，曲线在处的切线方程为
B. 当时，有极值点，且．
C. 对任意，函数都存在最小值
D. 若恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，且满足，则 ______．
13.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，，，乙的卡片上分别标有数字，，两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得分，数字小的得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则三轮比赛后，甲总得分的数学期望为______．
14.方程在上有且仅有一个实数根，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列．
求；
求展开式中二项式系数最大的项；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
16.本小题分
已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，，已知三人生产产品的次品率分别为，，．
现从这批产品中按等比例分层抽样抽出件产品，再从这件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求，；
现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率．
17.本小题分
某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中，，，通过计算得到与的相关系数．
求与的线性回归方程；
已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过分？
参考公式：，；相关系数．
18.本小题分
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各名，得到如下数据：
性别 锻炼
不经常 经常
女生
男生
依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和求第次传球后球在乙手中的概率；
记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，，，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值．
附：
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，设正项数列满足：，
证明：；
记数列的前项和为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意得，，即，
因为且，整理得，解得或舍去，所以；
二项展开式共项，二项式系数最大的项为第项或第项，
展开式的通项公式为，
则二项式系数最大的项为，；
由通项公式可得：
令为整数，则，，，时为有理项，即有理项共项，
由插空法得有理项不相邻的概率为．
16.抽出的件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了件，件，件，
因为事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，
所以，
所以；
分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品，
由题意可得，，，
，，，
所以
，
所以，
即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为．
17.由题中数据可得，，
由，可得：
，
所以，
所以与的线性回归方程为；
由可知，
所以当时，，
所以同学甲物理成绩不会超过分．
18.零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，
此时，
则依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
因为在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和，
设次传球后球在乙手中的概率为，，，，，
可得第次传球后球不在乙手中的概率为，
所以，
所以，
其中，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
此时，
即；
由知，
所以
，
即，
又总成立，
设，
此时需，
当最大时，必定为奇数，
因为随奇数的增大而减小，
所以当时，最大值，
则．
故实数的最小值为．
19.由知，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由得；由得，
在上单调递增，上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，上单调递减；
证明：当时，，由得，
由知，在上单调递增，上单调递减，，
即，又，，，
，，，，，，
下面证明：，即，，
只需证明，
设，
则，
在上单调递增，，
又，，
即，，
综上，；
证明：由知，
当，又，，
当时，，
又，，
即，
，
，设，则，
，
即，
，
故，当时，不等式右边等号成立．
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