资源简介

2024-2025学年广东省深圳市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量与的夹角为，且，，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在中，为边上的三等分点，若，，为中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.设，是两条直线，，是两个平面，则( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
5.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字，，，连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
8.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头，间架设一条索道为测量，间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在同一水平面上选一点，测得点的仰角为，点的人仰角为，以及，则，间的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是( )
A. 图的平均数中位数众数 B. 图的平均数众数中位数
C. 图的众数中位数平均数 D. 图的平均数中位数众数
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 在上的最小值为
D. 向右平移个单位后为一个偶函数
11.在直四棱柱中，所有棱长均，，为的中点，点在四边形内包括边界运动，下列结论中正确的是( )
A. 当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B. 若平面，则的最小值为
C. 若的外心为，则为定值
D. 若，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为的正方形如图所示，则原平面图形的面积为______．
13.已知函数为奇函数，则符合条件的一个的取值可以为______．
14.在中，的角平分线交于，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
求的值和的最小正周期；
求在上的单调递增区间．
16.本小题分
在中，、、分别是角、、的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积和周长．
17.本小题分
为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数；
为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为中点．
求证：面；
点在棱上，若二面角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”．
若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围；
一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处且蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的
当时，求；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：因为，所以，
即，解得，
所以
，
所以的最小正周期为．
由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为．
16.由已知得：，
，
，
，
，
；
，，，
由，可得，
可得：．
的周长，．
17.根据题意可得，解得；
因为前几组的频率依次为，，，，
所以成绩的分位数在内，且估计为；
因为和的频率之比为：：，
所以中抽人，中抽人，
所以再从这人中挑出人进行试课，则两人得分分别来自和的概率为；
因为和的频率之比为：：，
且得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，
所以得分在内的平均数为；
所以得分在内的方差为．
18.证明：由题意：，，，
解这个直角梯形可得：，，
又，，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，且平面，平面，，
平面；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设，有，
令是平面的一个法向量，
则，则，
令，有，
取面的一个法向量，
由．
解得，
．
19.是的“迷你向量”，
，解得；
如图，
当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，，，，
要想使得经过的路线中至少有其中个点，则路径必经过点，
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可，
先考虑总共最短路径条数：
最短路径一共步，其中三步向上，三步向右，
也即是在步中选择三步向上，其余三步向右，
故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：
“”代表前三步向上，剩下三步向右，
““表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右，
，，，，，，，，，，
总共的最短路径条数为，，
，
故经过包含的路径条数为，，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，
；
证明：同理，总共的最短路径条数为，
经过包含的路径条数为，试验为古典概型，
．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑