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2024-2025学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.某智能机器人公司从某年起年的利润情况如表所示，关于的回归直线方程是，则该智能机器人公司第年利润的残差是( )
第年
利润亿元
A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元
4.已知角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的个粽子中至多有一种相同的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知是双曲线：的右焦点，直线与交于，两点，若以为直径的圆经过点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，的下四分位数是
B. 若数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
C. 随机变量，若，则
D. 随机变量，若，则
10.已知抛物线：的焦点为，准线为，为坐标原点，点在抛物线上，直线，分别与交于，，直线与抛物线交于另一点，则( )
A. 的坐标为 B.
C. D.
11.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目若两个正整数的最大公因数是，则称这两个正整数互质函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与，，，均互质，则( )
A.
B. 若为质数，则数列为等比数列
C. 数列的前项和等于
D. ，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则 ______．
13.直线与函数和的图象都相切，则 ______．
14.一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行次后仍在顶点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求；
若，，平分交于点，求的长．
16.本小题分
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用，为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训，培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从道题中随机抽取道作答，答对道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
若这道题中甲能答对其中道，计算甲进入决赛的概率；
已知甲进入了决赛，决赛需要回答道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励元；若答对道题目则获得二等奖，奖励元；若答对道题目则获得三等奖，奖励元；若全部答错则没有奖励若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点在线段上，与交于点，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
求证：平面平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值；
求直线与平面夹角正弦值的最大值．
19.本小题分
已知椭圆过点，右焦点．
求椭圆的方程；
设直线：与椭圆交于，两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点．
证明：．
求面积的最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.由正弦定理及二倍角公式，得，，
因为，所以，
即，
又，所以又，所以；
由，知，
由角平分线得，
因为，
所以，
即，
则．
16.记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，，，，
所以，，
记甲进入决赛为事件，则甲进入决赛的概率为；
由题可知的取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列如下：
元，
即甲获得奖金的数学期望为元．
17.时，，所以，
所以，，
所以函数在处的切线方程为，即；
因为对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，又，所以，
所以在上恒成立，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以若，
故实数的取值范围是．
18.证明：连接，
因为菱形和等边三角形有公共边，点在线段上，
所以，且，，
所以四边形为菱形，
所以，
翻折后，，
因为，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
解：由知平面，
因为平面，
所以平面平面，
又，
故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，
所以为等边三角形，，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面与平面夹角为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
解：由知在平面上，且，
不妨设，，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设与平面的夹角为，
则，，
令，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
19.由题意椭圆右焦点可得，
因为椭圆过点，所以，
联立，解得，
所以椭圆的方程为．
证明：因为直线：与椭圆交于，两点，不妨设为第一象限点，
又，轴，如图，所以点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，
两式相减得：，
又，所以，
又，所以，
又，所以，所以．
由对称性不妨设，在第一象限，
联立，消去得，
所以，则，
设直线与倾斜角分别为，，则，
所以，
由可得，，
令，则，
令，则，且当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即面积的最大值为．
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