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2024-2025学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.对某种动物的三项指标，，进行调查研究现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为若与的散点图如图和图所示，那么关于的散点图最合理的为( )
A. B.
C. D.
4.甲、乙等人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有( )
A. B. C. D.
5.为改善人口结构，我国自年月日起实施三胎政策假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有个小孩的家庭如果已经知道这个家庭有女孩，那么这个小孩都是女孩的概率为( )
A. B. C. D.
6.设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
7.投掷一枚均匀硬币，掷出正面得分，掷出反面得分，投掷了次，设总分为，那么的数学期望为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知正整数，，，，满足，且，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，对于实数，，已知，设，，则( )
A. 时，有 B. 时，有
C. 时，有 D. 时，有
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.在的展开式中，的系数为______用数字作答
13.已知函数其中，是正实数．
能使函数为偶函数的一组，可以为______；
若函数的最小值为，则的最小值为______．
14.设函数，点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示已知曲线在点，处的切线分别为直线和，则此函数的解析式 ______．
15.一组单调不减的数据，，，，即，满足，记这组数据，，，，的方差为；数据，，，的有差为；数据，，，，的方差为；数据，，，的方差为给出下列四个结论：
存在单调不减的数据，使得；
存在单调不减的数据，使得；
存在单调不减的数据，使得；
对任意单调不减的数据，都有．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
甲、乙、丙台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这台机器的产品合格率分别为，，．
Ⅰ从甲机器生产的产品中任取件产品，求件产品都合格的概率；
Ⅱ从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取件，求恰有件产品合格的概率；
Ⅲ若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数的极值；
Ⅲ若函数在上存在最小值，求的取值范围．
18.本小题分
在某校运动会射击项目中只有甲、乙丙三名同学参加射击比赛，共比赛轮，每轮比赛名同学各射击次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜本次射击比赛中甲、乙、丙的前轮比赛成绩单位：环统计如下：
轮次
甲
乙
丙
用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
Ⅰ如果命中环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”依据表中的数据，估计甲在后轮比赛中“命中靶心”的轮数；
Ⅱ从前轮比赛中随机选择轮，设表示乙获胜的轮数，求的分布列和数学期望；
Ⅲ记第轮到第轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为，，．
定义统计量：
，
，
．
请直接写出，，的大小关系，
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点，已知点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆交于两个不同的点，均异于点若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程．
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ若，，设曲线在点处的切线交轴于点．
求出点的横坐标用表示；
已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形．
21.本小题分
已知数列：，，，，定义：从中选取第项、第项、、第项则称数列为的长度为的子列若：，，，为，，，的一个排列，则称数列具有性质．
Ⅰ已知：，，，，，，若数列是数列的长度为的子列，写出的最大值和最小值；
Ⅱ已知数列：，，，具有性质，且存在唯一的长度为的子列，使得，求的最小值；
Ⅲ已知数列：，，，具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，答案不唯一
14.
15.
16.Ⅰ根据题意，甲机器的产品合格率为，
从甲机器生产的产品中任取件产品，件产品都合格的概率；
Ⅱ根据题意，设从甲机器生产的产品中任取件，该产品为合格品为事件，从乙机器生产的产品中任取件，该产品为合格品为事件，从丙机器生产的产品中任取件，该产品为合格品为事件，
则，，．
则要求概率；
Ⅲ根据题意，若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，
设该产品是甲生产的为事件，是乙生产的为事件，是丙生产的为事件，
这件产品合格为事件，
则．
17.，
，
故，
故在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ令，得或，
令，得，故在，上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
极大值为，极小值为；
Ⅲ由Ⅱ知，在，上单调递增，
在上单调递减，且，
要想在上存在最小值，故．
18.甲前轮比赛中“命中靶心”的次数为次，所以甲“命中靶心”的概率为，
所以估计甲在后轮比赛中“命中靶心”的轮数为次；
Ⅱ乙前轮比赛中只有第，获胜，其余轮均没有取得胜利，故随机变量的值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以；
Ⅲ由题意得，，，，，，
所
，
由题意可得，，，，，，
所以
，
由题意可得，，，，，，
所以
，
所以．
19.由椭圆：，过点，
则由椭圆的离心率为，得，
则，所以椭圆的方程为；
Ⅱ依题意，直线的斜率存在，设方程为，
由消去得，显然，
设，，则，，
直线，的斜率分别为，，由，
得，即，
整理得，
则，解得，
所以直线的方程为，即．
20.Ⅰ，其中，定义域为．
，
令，则，
当时，即，此时，所以在上单调递减；
当时，即，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在，上单调递减，在上单调递减；
当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在，上单调递减，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递减；
Ⅱ当时，，，
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，则，所以点，
所以点的横坐标．
证明：，，
已知点在轴上，且轴，
所以，若为等腰直角三角形，则，
即，则，
因为，所以，
画出，图象如图：
结合图象可知，，在有一个交点，所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形．
21.对于数列：，，，，，，长度为的子列，．
最大值：
构造子列使相邻项差值绝对值和最大．选子列，，，，
．
最小值：
构造子列使相邻项差值绝对值和最小．选子列，，，，
．
数列是，，，，，的排列，存在唯一长度为的子列使．
分析极端项首、尾及中间“峰谷”项，因唯一性，中间极端项必为或．
若中间极端项为，设两端含，构造数列如，，，，，，
．
若中间极端项为，构造数列如，，，，，，更大计算得．
故最小值为．
为偶数，设，将数分为两组，．
构造数列使最大：需交替“峰谷”，即或反向．
化简得．
取，，，，
此时最大值为．
与各自排列数为，因有和两种方向，
总数为．
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