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2024-2025学年山东省青岛市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.二项式展开式的第项的系数为( )
A. B. C. D.
4.为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表：
性别 晚上 白天 总计
女
男
总计
则的值最接近( )
附：，
A. B. C. D.
5.设，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，若，则( )
A. B.
C. D.
10.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则( )
A. 他第天去餐厅的概率为
B. 他连续两天都去餐厅的概率为
C. 他连续两天都不去餐厅的概率为
D. 若他第天去餐厅，则他第天去餐厅的概率为
11.已知函数的定义域为，且，若，则( )
A. B.
C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知关于的不等式的解集为，则 ______．
13.若函数，则 ______．
14.函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若是的极值点但不是零点，求的单调区间．
16.本小题分
某企业调研后，得到研发投入万元与产品收益万元的数据如下：
若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；
若，则相关程度一般；若，则相关程度很强
求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入万元时的产品收益．
参考数据：
参考公式：．
17.本小题分
已知函数，．
求的零点；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
系统中每个元件正常工作的概率均为，各个元件正常工作的事件相互独立如果系统中多干一半的元件正常工作，系统就能正常工作记表示“系统中共有个元作时，系统正常工作的概率”．
若，求；
若，系统中共有个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为，求的均值；
若，，证明：．
19.本小题分
已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数．
证明：是周期函数；
给定，设，证明：存在，使得；
若，设函数．
求的最大值；
若存在，使得对恒成立，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，，则．
．
则．
所以切线过点，斜率为，
所以切线方程为．
．
因为是的极值点，则，即，解得或．
又不是零点，
若，则，矛盾，舍去；
若，则，符合条件．
所以．
令，解得；
令，解得
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
16.由题意，根据表格中的数据，可得：，，
则，
，
所以，
可以推断变量与的相关程度很强；
由可得，，，
又由，
所以，则，
可得关于的经验回归方程为，
令，可得，即预测研发投入万元时，产品收益是万元．
17.的定义域为，导函数，
在上单调递增，而，
因此函数的零点是．
的定义域为，导函数，
当时，导函数，在上单调递增，无极值；
当时，由，得；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，
根据题意，，即，
根据第一问知，函数在上单调递增，且，
因此不等式的解集为，
所以的取值范围为．
18.因为，，
所以；
记正常工作的元件个数为，则，
所以，又因为，
所以；
证明：令，
则，
所以，
所以，
所以．
19.证明：由题知：，，
所以，
所以，
所以是以为周期的周期函数．
因为是周期为的偶函数，且的图象关于点中心对称，
先看在一个周期上的情况：
所以为的最小值，
根据周期性，不妨设，显然区间长度为，
若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以取，有，
若，则，
当时，在区间上单调递减，所以取，有，
当时，在区间上单调递减，所以取，有，
同理可证，时，存在，使得，
综上，对，存在，使得．
因为，
且，
所以是周期为的偶函数，不妨设，
因为，
令，则，又因为，，
所以或，．
即，或，
解得：或感或，
因为，得，，，
又因为，
，
，
，
所以的最大值为．
当时，由知：，所以，
当时，下面证明总存在，使得成立，
不妨设，，则，
因为在区间上单调递增，在上单调递减，所以恒成立，
由知：存在使得，
所以，有成立，
由知：当时，，
所以总存在，使得，所以．
综上，的最小值为．
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