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2024-2025学年河北省保定市唐县一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知事件，相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在四边形中，，，设，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. 或 B. C. D.
5.已知向量，满足，且，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.某校期中考试后，为分析名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图则下列结论错误的是( )
A. 估计数学成绩的众数为
B.
C. 估计数学成绩的百分位数约为
D. 估计成绩在分及以上的学生的平均分为
7.甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对道题目的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，该棱锥的高为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列命题是真命题的是( )
A.
B.
C.
D. 若是关于的方程的根，则
10.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为
B. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为
C. 甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
11.一块正方体形木料如图所示，其棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则( )
A.
B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C. 截面的面积为
D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.给出下列命题：任意两个复数都不能比较大小；若，则当且仅当且时，；若，且，则；若，则其中，假命题的序号有______．
13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，且，则此圆台的内切球与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球的表面积为______．
14.在平行四边形中，已知，，为坐标原点，则顶点的坐标为______，平行四边形的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图所示，在直三棱柱中，，，棱，，分别为，的中点．
Ⅰ求的长；
Ⅱ求与所成角的余弦值；
Ⅲ求证：平面．
17.本小题分
近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线某课外实践小组随机调查了该市的名外卖骑手，统计他们的日单量平均每天送的外卖单数，数据如表：
Ⅰ估计该市的外卖骑手日单量大于的概率；
Ⅱ求这名外卖骑手日单量的平均数和方差；
Ⅲ若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大？直接给出结论即可，不需要写计算过程
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，平面平面，．
求证：；
求证：为直角三角形；
若，求四棱棱的体积．
19.本小题分
临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，，，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立记“小明只回答道题就结束面试”为事件记“小华道题都回答且通过面试”为事件．
求事件发生的概率；
求事件和事件同时发生的概率；
求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
参考答案
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15.解：Ⅰ，
，
又，，
，，
；
Ⅱ的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
16.解：Ⅰ如图所示，建立空间直角坐标系，
由题意可得，，则，
，
线段的长为．
Ⅱ依题意得，，，
，，
则，；
，
则，
故A与所成角的余弦值为；
Ⅲ证明：，，
，，，
则有，则，直线，
，则，直线，
又由，
故B平面．
17.解：Ⅰ名外卖骑手中有人的日单量大于，频率为，
因此估计该市的外卖骑手日单量大于的概率为；
Ⅱ平均数为，
方差为；
Ⅲ乙公司的外卖骑手日单量的差异更大．
18.解：证明：如图，作于点，
在等腰梯形中，可设，
，，
，
，；
证明：，平面平面，平面平面，
平面，又平面，
，又，，
平面，又平面，
，
所以为直角三角形；
若，则，
由知在等腰梯形中，，，
，
，
又平面，，
，，
．
．
19.解：根据题意：；
根据题意，小华道题都回答且通过面试的概率为，
故；
记小明没有通过面试为事件，
即分前两道回答对一道且最后一道错误和前两道均回答错误两种情况，
则小明没有通过面试的概率为，
则小明通过面试的概率为，
记小华通过面试的事件为，则，
故小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
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