资源简介

2024-2025学年四川省达州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.衡量数据离散程度还可以使用变异系数标准差与平均数的比值一般来说变异系数越大，其离散程度的测度值越大，反之越小如表总结了标准差与变异系数的适用场景某次考试后，甲班平均分分，标准差分；乙班平均分分，标准差分则( )
场景 使用标准差 使用变异系数
数据单位相同，均值相近 直接比较绝对波动 不必要
数据单位不同 无法直接比较 消除单位差异，比较相对波动
均值差异大 可能误导 标准化后比较相对波动
A. 甲班成绩相对更稳定 B. 乙班成绩相对更稳定
C. 甲、乙两班成绩一样稳定 D. 不确定
4.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第枚硬币正面朝上”，“第枚硬币反面朝上”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相等 C. 与互斥 D. 与对立
5.是角为第三象限角的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知非零向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知甲、乙两机床生产同一种零件，甲机床生产优等品的概率为，乙机床生产优等品的概率为，假定两机床是否生产优等品相互没有影响现从这两台机床生产的零件中各随机抽取一件，则这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据：，，，，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为
C. 去掉一个样本数据后方差变小 D. 每个样本数据都减后方差变小
10.下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的定义域为
11.已知函数，是定义在上的连续函数，，对任意，，都有成立，则( )
A. 是偶函数 B.
C. 是周期函数 D. 不等式有解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则______．
13.已知是坐标原点，向量，对应的复数分别为，，则______．
14.在中，，，为线段上一点．，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如表所示．
校服规格 合计
频数
请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性；
现有套不同规格的校服，将件上衣分别用，，表示，件裤子分别用，，表示，其中，，分别表示一套，分别装入只大小材质相同的黑色袋子如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求．
16.本小题分
简谐运动可以用函数，表示，其中，已知某简谐运动图象如图所示．
指出该简谐运动的振幅、周期、初相；
把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变，得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象．
讨论函数在上的单调性；
若，求的值．
17.本小题分
现有一块面积为，弧长为的扇形铁皮．
求该扇形的周长；
用其截取直接裁剪，不能拼接一个面积最大的内接矩形，现有两种方案如图所示，设供选择，应选择哪种方案，并说明理由．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
当、、、四点共圆时，求；
求四边形面积的最大值；
求的最大值．
19.本小题分
如图，锐角的垂心、重心、外心分别为，，，且为中点．
用，表示；
用，表示；
证明：其中为外接圆半径，，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，该组数据的平均数为，
共个数据，则中位数为第个数据和第个数据的平均数，即为，
众数为，
由于全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异，
所以用一个学校的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理．
根据题意，样本空间为，
共个基本事件，
其中，事件、、、、、，共个基本事件，
故．
16.由题意得，可得，
将代入，可得，
当时，，取，可得，
综上所述，该简谐运动的振幅为，周期为，初相为．
根据题意，可得，
由，解得的递增区间为，；
同理，可求得的单调递减区间为，，
当，可得的递增区间为，递减区间为．
由题意得，
因为，所以．
17.设扇形的半径为，则扇形的面积，
可得扇形的周长为．
设方案一与方案二中矩形的面积分别为、，
方案一中，，，
所以，
由可得，所以当时，即时，的最大值为；
方案二中，设为的中点，设，则，，
所以
，
当，即，矩形面积取得最大值为．
因为，所以由方案可以裁剪出面积最大的矩形．
18.解：当、、、四点共圆时，
，
因为，，，，
所以，
由余弦定理得
，
可得；
设，其中，
由余弦定理得，
故，
因为，则为钝角，
且，
在中，由正弦定理得，
而，即，
可得，
因为为钝角，则为锐角，
所以，
所以
，
故，
所以
，
其中为锐角，且，
因为，则，故当时，
四边形的面积取最大值；
因为为钝角，则为锐角，
故，
设，
，
设，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，
在中，由正弦定理得，
代入数据化简得，
在中，，即，
代入数据并化简得，
结合可得，
所以，则，
由可得，
由、和，
可得
，
其中为锐角，且，
因为，则，故当时，取最大值，
且的最大值为．
19.为中点，，
又为锐角的重心，，即，
．
连接并延长交外接圆与点，连接、、、，
为锐角的外心，为外接圆的直径，则、，
为锐角的垂心，、，、，
，即，，
又为锐角的重心，，，
．
由可知，，
，
根据向量积公式，这里，，，
，
，，则，
利用三角函数的和差化积与二倍角公式可知，
，又，，
即上式可化简为
即得证．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑