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2024-2025学年上海市浦东新区新川中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于任意实数，，，，下列命题是真合题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
2.在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为( )
A. B. C. D.
3.一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则( )
A. 事件，，两两独立，事件，，相互独立
B. 事件，，两两独立，事件，，不相互独立
C. 事件，，不两两独立，事件，，相互独立
D. 事件，，不两两独立，事件，，不相互独立
4.设定义域为的函数，函数的导函数是对于，函数在上存在极值点记，则中的函数一定不具有的性质是( )
A. B.
C. 函数在上为严格增函数 D. 函数是偶函数
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.设集合，，则 ．
6.不等式的解集为______．
7.从总体容量为的研究对象中挑选个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按，，进行编号，然后从随机数表第行第个数开始向右读，则选出的第个编号是______注：下面为随机数表的第，行
8.在的展开式，的系数是______．
9.若，，且，则的最大值为______．
10.已知函数，则 ______．
11.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
12.有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为、、，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．
13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：
广告费用万元
销售额万元
根据如表可以回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为______万元．
14.若对任意，均有，则实数的取值范围为______．
15.抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则函数没有极值点的概率为______．
16.已知函数，现给出下列结论：
有极小值，但无最小值有极大值，但无最大值
若方程恰有一个实数根，则若方程恰有三个不同实数根，则
其中所有正确结论的序号为_____________
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数常数为自然对数的底；根据的结论，判断与的大小关系．
19.本小题分
近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视我校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取名学生进行紧急避险知识测试，其中男生名，女生名所有学生的测试成绩都在区间范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．
根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？
性别 测试成绩 合计
优秀 不优秀
男生
女生
合计
若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中的值；
规定测试成绩不低于分为优秀，已知共有名男生成绩优秀，完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？参考公式与数据：．
20.本小题分
为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满元含元可抽奖一次，抽奖方案有两种顾客只能选择其中的一种．
方案：从装有个红球，个蓝球形状、大小完全相同的抽奖盒中，有放回地依次摸出个球每摸出次红球，立减元，若次都摸到红球，则额外再减元即总共减元；
方案：从装有个红球，个蓝球形状、大小完全相同的抽奖盒中，不放回地依次摸出个球中奖规则为：若摸出个红球，享受免单优惠；若摸出个红球，则打折；其余情况无优惠．
顾客选择抽奖方案，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
顾客恰好消费了元，
若他选择抽奖方案，求他实付金额的分布列和期望结果精确到；
试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理．
21.本小题分
已知函数，，令．
当时，求函数在处的切线方程；
当为正数且时，，求的最小值；
若对一切都成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.由题意可知，，
，
因为，所以，
所以或，
即实数的取值范围为；
若，则，
若，则，解得，
当，则，解得，
当，则，此时不存在，
当，则，此时显然不成立，
综上，的范围为．
18.证明：函数，导函数
当时，，那么导函数，
因此在上是严格减函数．
根据第一问知，在上单调递减，那么，
即，整理得，即，
又在上单调递增，所以．
19.依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：
，
样本平均数的估计值为：，
显然数据落在区间的频率为，落在的频率为，
因此样本中位数在区间内，其估计值为；，
则，解得，所以．
总的成绩优秀人数为：，得到列联表为：
性别 测试成绩 合计
优秀 不优秀
男生
女生
合计
零假设男生和女生的测试成绩优秀率没有差异，
于是的观测值为，
所以根据小概率值的独立性检验，无法推断不成立，
即认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异．
20.解：设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩个红球和个蓝球，共个球，享受优惠包含摸出个红球和摸出个红球这两种情况，
从个球中不放回摸个球，总情况有钟，摸出两个红球的情况有种，
摸出红蓝的情况有种，所以；
设顾客选择抽奖方案时实付金额为元，从装有个红球，个蓝球的抽奖盒中摸一个球，
摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
所以实付金额的分布列为
实付金额的期望为：
；
设顾客选择抽奖方案时实付金额为元，当摸出个红球或个红球时，
，当摸出个红球时，，
当摸出个红球时，，
所以，
所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案更合理．
21.解：当时，，，，，
故在处的切线方程为；
函数的定文域为，
当时，，
令，解得或，
当，即时，，故在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意；
当，即时，当时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为不符合题意；
当，即，同理可得在上单调递增，
所以在上的最小值为，不符合题意；
综上，实数的取值范围是．
故的最小值为．
设，则，
因为，
由，
所以对任意，，，且恒成立，
等价于在上单调递增，
而，
当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，
因为，只要，则需要，
对于函数过定点，对称轴，
只需，即，
综上可得：．
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