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2024-2025学年江苏省扬州中学树人教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若（3×3×3×3）m＝92，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）如果a＞b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．﹣2a＞﹣2b B． C．2﹣a＞2﹣b D．a﹣2＞b﹣2
4．（3分）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．﹣2
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．若a2＞b2，则a＞b
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．对顶角相等
6．（3分）若a+b＝﹣4，ab＝﹣2，则（a﹣b）2＝（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
7．（3分）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
8．（3分）式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（　　）
A． B． C．7 D．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9．（3分）中国科研团队突破性研制全球最薄金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058m，是头发丝的二十万分之一．将0.00000000058用科学记数法表示为　 　 ．
10．（3分）若3a＝4，3b＝2，则3a﹣b＝　 　 ．
11．（3分）已知某多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是 　 　 边形．
12．（3分）已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为　 　 ．
13．（3分）若x2﹣3（k+1）x+36是一个完全平方式，则k＝　 　 ．
14．（3分）若关于x，y的方程组的解满足3x﹣y≤1，则m的最大整数解为　 　 ．
15．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　 　 ．
16．（3分）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为　 　 ．
17．（3分）设a1，a2，…，a2025是从﹣1，0，1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+ +a2025＝0，（a1+1）2+（a2+1）2+ +（a2025+1）2＝3025，则a1，a2，…，a2025中值为﹣1或0的个数共有 　 　 个．
18．（3分）如图，在△AOB在和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝40°，∠C＝60°，OD与OA重叠．若△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若△AOB和△COD中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到 　 　 秒时，第2025次边平行．
三.解答题（共10小题，共96分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a a5﹣（2a3）2+a9÷a3．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：，并用数轴表示解集．
21．（8分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（y﹣4）2+x（y﹣x），其中．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△ABC平移得到△A′B′C′，连接AA′，BB′．
（1）根据题意，补全图形；
（2）线段AA′与线段BB′之间的位置关系和数量关系是　 　 ；
（3）在BB′上画出一点P，使得∠PA′B′＝∠ABC．
23．（10分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝（a+1）（b+1）运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
（1）若a＝4，b＝﹣2，求a，b的“和积数”c；
（2）若，求a，b的“和积数”c．
24．（10分）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）图①，在边AC上找一点D，使得∠BDC＝60°；
（2）图②，E是AB上一点，在边AC上作点F，使∠EFC＝2∠A．
26．（10分）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元．
（1）求A、B两款奶茶的单价各为多少元？
（2）某班参加社会实践活动的有56位学生和4名教师，现该班决定团购下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠5元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在班级现有经费648元的情况下，若B奶茶的数量不少于34杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？最少费用多少元？
27．（12分）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
例如，方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．
（1）请判断，方程3（x+1）﹣x＝9　 　 （“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”；
（2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”．且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
28．（12分）【问题探究】
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝60°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠BPC的度数是 　 　 ；
（2）已知：如图2，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB＝210°，则∠A＝ 　 　 ；
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β，求∠F的度数；（用含α，β的式子表示）
（4）如图4，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝130°，则∠BIC＝ 　 　 ．
2024-2025学年江苏省扬州中学树人教育集团七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D B C D A A
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．（3分）若（3×3×3×3）m＝92，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由条件可得（34）m＝（32）2，
34m＝34，
即4m＝4，
∴m＝1．
故选：A．
3．（3分）如果a＞b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．﹣2a＞﹣2b B． C．2﹣a＞2﹣b D．a﹣2＞b﹣2
【解答】解：A、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，不符合题意，选项错误；
B、∵a＞b，∴，不符合题意，选项错误；
C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b，不符合题意，选项错误；
D、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，符合题意，选项正确；
故选：D．
4．（3分）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（　　）
A．0 B．2 C． D．﹣2
【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3﹣4x2+2ax2﹣4ax+4x﹣8
＝2x3+（2a﹣4）x2+（4﹣4a）x﹣8，
∵结果中不含x2项，
∴2a﹣4＝0，
∴a＝2，
故选：B．
5．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．若a2＞b2，则a＞b
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．对顶角相等
【解答】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，逆命题是假命题，不符合题意；
B、若a2＞b2，则a＞b，逆命题是若a＞b，则a2＞b2，逆命题是假命题，不符合题意；
C、如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，逆命题是真命题，符合题意；
D、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）若a+b＝﹣4，ab＝﹣2，则（a﹣b）2＝（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝﹣2，
∴（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）
＝16+8
＝24，
故选：D．
7．（3分）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．35° C．36° D．40°
∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：A．
8．（3分）式子2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，则log381＝4，同理log327＝3，log33＝1．由此可以得到下列式子：log381＝log3（27×3）＝log327+log33，且若logab＝logac，则b＝c，根据以上的信息及运关系，若log4（x+12）+log4x＝2log4（x+2），则x＝（　　）
A． B． C．7 D．
【解答】解：设a＝log3（x+12），b＝log3x，c＝log3（x+2），
∴3a+b＝x（x+12），32c＝（x+2） （x+2）＝（x+2）2，
∴a+b＝log3x（x+12），，
∴，
∴x（x+12）＝（x+2）2，
解得：．
故选：A．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9．（3分）中国科研团队突破性研制全球最薄金属材料，材料的厚度仅为0.00000000058m，是头发丝的二十万分之一．将0.00000000058用科学记数法表示为　5.8×10﹣10　 ．
【解答】解：0.00000000058＝5.8×10﹣10．
故答案为：5.8×10﹣10．
10．（3分）若3a＝4，3b＝2，则3a﹣b＝　2　 ．
【解答】解：由条件可得3a﹣b＝3a÷3b＝4÷2＝2；
故答案为：2．
11．（3分）已知某多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是 　10　 边形．
【解答】解：∵这个多边形的每个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数是：360÷36＝10，
故答案为：10．
12．（3分）已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为　2　 ．
【解答】解：∵（a+2）x|a|﹣1+y＝5是一个二元一次方程，
∴，
解得：a＝2，
故答案为：2．
13．（3分）若x2﹣3（k+1）x+36是一个完全平方式，则k＝　3或﹣5　 ．
【解答】解：由条件可得﹣3（k+1）x＝±2×6x，
∴k+1＝4或k+1＝﹣4，
解得k＝3或k＝﹣5，
故答案为：3或﹣5．
14．（3分）若关于x，y的方程组的解满足3x﹣y≤1，则m的最大整数解为　0　 ．
【解答】解：，
①+②得：3x﹣y＝3m+1，
∵关于x，y的方程组的解满足3x﹣y≤1，
∴3m+1≤1，
∴m≤0，
∴m的最大整数解为0，
故答案为：0．
15．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　每一个内角都大于60°　 ．
【解答】解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°．
故答案为：每一个内角都大于60°．
16．（3分）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为　3　 ．
【解答】解：如图所示：标有数字的3个位置都是中心对称图形．
故答案为：3．
17．（3分）设a1，a2，…，a2025是从﹣1，0，1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+ +a2025＝0，（a1+1）2+（a2+1）2+ +（a2025+1）2＝3025，则a1，a2，…，a2025中值为﹣1或0的个数共有 　1525　 个．
【解答】解：设值为﹣1、0、1的个数分别为x、y、z，
根据题意：，
解得：x＝500，y＝1025，z＝500．
∴值为﹣1或0的个数为x+y＝1525．
故答案为：1525．
18．（3分）如图，在△AOB在和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝40°，∠C＝60°，OD与OA重叠．若△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若△AOB和△COD中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到 　3643.5　 秒时，第2025次边平行．
【解答】解：在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠A＝40°，∠C＝60°，
∴∠CDO＝30°，∠ABO＝50°如图，第1次边平行时，AB∥CO，
∴∠COB＝180°﹣∠ABO＝130°，
∴旋转了180°﹣130°＝50°，旋转2.5（秒），
如图，第2次边平行时，CD∥BO，
∴∠BOD＝∠D＝30°，
∴旋转了90°﹣30°＝60°，旋转3（秒），
如图，第3次边平行时，AC∥BD，设OB，CD交于点E，
∴∠DEB＝∠ABO＝50°，
∴∠BOD＝∠BED﹣∠CDO＝50°﹣30°＝20°，
∴旋转了20°+90°＝110°，旋转了5.5（秒），
如图，第4次边平行时，AB∥DO，
∴∠BOD＝∠ABO＝50°，
∴旋转了90°+50°＝140°，旋转时间为7（秒），
如图，第5次边平行时，CD∥AO，
∴∠AOC＝∠C＝60°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝60°，
∴旋转了90°+60°＝150°，旋转时间为7.5（秒），
如图，第6次边平行时，CO∥AB，
∵∠BOC＝∠ABO＝50°，
∴旋转了180°+50°＝230°，旋转时间为11.5（秒），
如图，第7次边平行时，CD∥BO，
∴∠BOC＝∠C＝60°，
∴旋转了180°+60°＝240°，
旋转时间为12（秒），
如图，第8次边平行时，CD∥AB，设直线OB交CD于点F，
∴∠DFO＝180°﹣∠B＝130°，
∴∠DOF＝180°﹣130°﹣30°﹣20°，
∴旋转了180°+20°+90°＝290°，
旋转时间为14.5（秒），
如图，第9次边平行时，OD∥AB，
∴∠AOD＝∠BAO＝40°，
∴旋转了360°﹣40°＝320°，
旋转时间为16（秒），
如图，第10次边平行时，CD∥AO，
∠AOD＝∠CDO＝30°，
∴旋转了360°﹣30°＝330°，
旋转时间为15.5 （秒），再旋转30°就回到初始位置，
∴△OAB旋转1周有10次边平行，旋转时间为18（秒），
∵2025÷10＝202…5，
第2025次平行时，旋转了202周，再加7.5秒，
∴202×18+7.5＝3643.5，
故答案为：3643.5．
三.解答题（共10小题，共96分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）a a5﹣（2a3）2+a9÷a3．
【解答】解：（1）
＝﹣1+3+1﹣8
＝﹣5；
（2）a a5﹣（2a3）2+a9÷a3
＝a6﹣4a6+a6
＝﹣2a6．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：，并用数轴表示解集．
【解答】解：（1），
①×2+③得，7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入②得，2+4y＝4，
解得y，
所以原方程组的解为；
（2），
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥﹣1，
把两个不等式的解集在数轴上表示为：
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
21．（8分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（y﹣4）2+x（y﹣x），其中．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣（y2﹣8y+16）+xy﹣x2
＝x2﹣y2﹣y2+8y﹣16+xy﹣x2
＝﹣2y2+8y﹣16+xy．
当时，原式＝﹣8+16﹣16+1＝﹣7．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△ABC平移得到△A′B′C′，连接AA′，BB′．
（1）根据题意，补全图形；
（2）线段AA′与线段BB′之间的位置关系和数量关系是　AA'∥BB'，AA'＝BB'　 ；
（3）在BB′上画出一点P，使得∠PA′B′＝∠ABC．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）由题意得，线段AA′与线段BB′之间的位置关系和数量关系是AA'∥BB'，AA'＝BB'．
故答案为：AA'∥BB'，AA'＝BB'．
（3）如图，过点A'作B'C'的平行线，交BB'于点P，
∴∠PA′B′＝∠A'B'C'，
由平移得∠A'B'C'＝∠ABC，
∴∠PA′B′＝∠ABC，
则点P即为所求．
23．（10分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝（a+1）（b+1）运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
（1）若a＝4，b＝﹣2，求a，b的“和积数”c；
（2）若，求a，b的“和积数”c．
【解答】解：（1）c＝（4+1）（﹣2+1）＝﹣5；
（2）c＝（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1，
由条件可知（a+b）2＝a2+b2+2ab＝8+1＝9，
∴a+b＝3或a+b＝﹣3，
当a+b＝3时，，
当a+b＝﹣3时，，
综上所述：c得值为或．
24．（10分）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
【解答】解：（1）∠AED+∠D＝180°；
∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠D＝∠BED，
∴∠AED+∠D＝180°；
（2）∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝30°，
∴∠HGD＝80°，
∴∠CGF＝180°﹣80°＝100°，
∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣∠CGF＝180°﹣100°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣80°＝100°．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）图①，在边AC上找一点D，使得∠BDC＝60°；
（2）图②，E是AB上一点，在边AC上作点F，使∠EFC＝2∠A．
【解答】解：（1）如图①，作线段AB的垂直平分线，交AC于点D，
则AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝60°，
则点D即为所求．
（2）如图②，作线段AE的垂直平分线，交AC于点F，
则AF＝EF，
∴∠AEF＝∠A，
∴∠EFC＝∠AEF+∠A＝2∠A，
则点F即为所求．
26．（10分）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元．
（1）求A、B两款奶茶的单价各为多少元？
（2）某班参加社会实践活动的有56位学生和4名教师，现该班决定团购下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠5元，B奶茶在原来单价的基础上打八折，在班级现有经费648元的情况下，若B奶茶的数量不少于34杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？最少费用多少元？
【解答】解：（1）设A款奶茶的单价为x元，B款奶茶的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的单价为14元，B款奶茶的单价为15元；
（2）设购买A宽奶茶m杯，则购买B宽奶茶（60﹣m）杯，
根据题意得：，
解得：24≤m≤26，
∵m为正整数，
∴m可以为24，25，26，
∴共有3种购买方案：
①购买A奶茶24杯，购买B奶茶36杯，花费（14﹣5）×24+15×0.8×36＝648（元）；
②购买A奶茶25杯，购买B奶茶35杯，花费（14﹣5）×25+15×0.8×35＝645（元）；
③购买A奶茶26杯，购买B奶茶34杯，花费（14﹣5）×26+15×0.8×34＝642（元）；
∵648＞645＞642，
∴购买A奶茶26杯，购买B奶茶34杯最少，最少费用为642元，
答：共有3种购买方案，①购买A奶茶24杯，购买B奶茶36杯；②购买A奶茶25杯，购买B奶茶35杯；③购买A奶茶26杯，购买B奶茶34杯；购买A奶茶26杯，购买B奶茶34杯最少，最少费用为642元．
27．（12分）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
例如，方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．
（1）请判断，方程3（x+1）﹣x＝9　是　 （“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”；
（2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”．且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵3（x+1）﹣x＝9，
∴x＝3．
又∵不等式组为，
∴1＜x≤5．
∴方程3（x+1）﹣x＝9是不等式组的“关联方程”．
故答案为：是．
（2）由题意，∵2x﹣k＝6，
∴x．
又∵不等式组为，
∴﹣1≤x≤7．
∴﹣17．
∴﹣8≤k≤8．
（3）由题意，∵，
∴x＝6m﹣7．
又由不等式组，
∴解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x≤3m+1，
∴原不等式组的解集为：0＜x≤3m+1，
∵不等式组有4个整数解，
∴整数的值为1，2，3，4，
∴4≤3m+1＜5．
∴．
∵关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
28．（12分）【问题探究】
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝60°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠BPC的度数是 　120°　 ；
（2）已知：如图2，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB＝210°，则∠A＝ 　30°　 ；
【拓展与应用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A＝α，∠D＝β，求∠F的度数；（用含α，β的式子表示）
（4）如图4，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝130°，则∠BIC＝ 　122.5°　 ．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝120°；
故答案为：120°；
（2）∵∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB＝210°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°+180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝360°﹣210°＝150°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣150°＝30°；
故答案为：30°；
（3）延长BA，CD交于点Q，
∵∠BAD＝α，∠ADC＝β，同（2）可得∠Q＝α+β﹣180°，
∵∠F为四边形ABCD的∠ABC 的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，
∴，，
∵∠DCE＝∠QBC+∠Q，∠FCE＝∠FBC+∠F，
∴∠Q＝∠DCE﹣∠QBC，2∠F＝2∠FCE﹣2∠FBC＝∠DCE﹣∠QBC，
∴∠Q＝2∠F，
∴，
（4）∵∠1+∠2＝130°，结合折叠，
∴∠ADI+AEI＝180°+180°﹣（∠1+∠2）＝230°，∠A＝∠DIE，
∴65°，
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
由（1）得：90°+32.5°＝122.5°．
故答案为：122.5°．

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