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第二十一章 一元二次方程
章末复习
核心考点整合
考点1 一元二次方程的相关概念
1.下列方程中，，一定是一元二次方程的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.把一元二次方程化成一般形式为__________________。
3.已知是方程的一个根，则的值为_____________。
考点2 一元二次方程的解法
4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）
化为化为
化为化为
5.解下列方程：
(1)（直接开平方法）； (2)（配方法）；
(3)（公式法）； (4)（因式分解法）。
考点3 一元二次方程根的判别式
6.关于x的一元二次方程2=0的根的情况是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （ ）
考点4 一元二次方程的根与系数的关系
8.设是一元二次方程的两个实数根，则
9.已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值。
考点5 一元二次方程的实际应用
10.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元。设人均可支配年收入的平均增长率为x，则根据题意，可列方程为____________________。
11.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动。如果P,Q分别从A,B两点同时出发，设移动的时间为ts.求：
(1)当t为多少时,△PBQ的面积等于8cm
(2)当t为多少时,△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
12.随着科技的不断进步，人工智能(AI)正逐渐渗透到我们的生活和工作中，从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能。某人工智能科技体验馆在十一假期期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均费用不得低于170元。
(1)若有14人参加，则人均费用是__________元；
(2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共为3600元，求参加体验活动的学生人数。
思想方法整合
思想1 换元法
13.解方程：
思想2 整体思想
14.已知是的一个根，求代数式的值。
思想3 分类讨论思想
15.已知关于的方程有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若，求方程的两个根及a的值。
参考答案
1.B 2. 3.-4 4.B
5.【解】(1).,
(2)配方，得，,
(3)原方程可化为
,,c=1,
,
(4)因式分解，得,即.
∴.,
6.A 7.A 8.-1
9.(1)【证明】
∵无论m取何值，恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)【解】∵方程的两个实数根为,,
,
解得.
11.【解】(1)易知.
∵△PBQ的面积等于8cm ,,
整理，得，解得,
∴当t为2或4时,△PBQ的面积等于8cm .
(2)易知。，,
∵△PQD是以PD为斜边的直角三角形，,
即，
整理，得，解得,
∴当t为 或6时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形。
12.【解】(1)220
(2)设参加体验活动的学生人数为x人，
由题意，得,
整理，得，解得,
当时，240-5×(18-10)=200（元），符合题意。
当时，240-5×(40-10)=90（元）。
∵90＜170,不符合题意，∴舍去。
∴参加体验活动的学生人数为18人。
13.【解】设2x+1=y,则原方程可化为，解得.
当y=1时，有2x+1=1,解得x=0;
当y=2时，有2x+1=2,解得
所以原方程的解为,
14.【解】∵x=a是的一个根，,即
∴原式
15.【解】(1)由题意，得20≥0,
解得a≥-1.
(2)若，则，故x =0或
当x =0时，将其代入原方程，得，解得a=
而此时，
故或
当时,△=20a+20=0,解得.
∴原方程可化为，解得
点方法 本题运用分类讨论思想，解题的关键是利用根与系数的关系以及根的判别式建立方程或不等式。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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