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第二十一章一元二次方程
专题1一元二次方程的特殊解法
类型1十字相乘法
1.我们知道可以用公式来分解因式，从而解一元二次方程。
(1)方程可分解为_____________,方程可分解为______________.
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法求解。如：方程可分解为（如图），从而可以快速求出方程的解。
利用此方法解下列方程：
类型2换元法
2.解方程：
解：设,
则原方程可化为，
解得,
当时,,解得;
当时,,解得.
∴原方程的解为,
上述解法称为“整体换元法”。
请运用“整体换元法”解下列方程：
(1)(2)
类型3拆项分组法
3.阅读后解答问题。
解方程：
解：拆项，分组得，
提公因式，得,
再提公因式，得,
即或.
,
运用以上方法解方程：
类型4与绝对值符号相结合
4.阅读下面的例题：解方程：
解：①当时，原方程可化为0，解得，（不符合题意，舍去）；
②当0时，原方程可化为，解得（不符合题意，舍去），
综上，原方程的解是或.
请参照例题解方程：
类型5与分式相结合
5.阅读下面材料，解答后面的问题。
解方程：
解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘，得整式方程，解得.
经检验：都是方程的解.当时，，解得,经检验，是方程的解；当时，，解得，经检验，是方程的解.所以原分式方程的解为或上述这种解分式方程的方法称为换元法。
(1)关于的方程，可以设y=,新方程去分母后可化为整式方程，这个关于y的整式方程为_____________________________；
(2)用换元法解方程：
类型6 与几何图形相结合
6.我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法。例如，求方程正根的方法：如图，构造出4个长为，宽为的矩形，围成一个边长为(x+2+x)的大正方形，，，得到大正方形的面积为4×35+4=144,∴大正方形的边长为12,即.
(1)请利用上面方法画出图形，求出方程的正根；
(2)你能否用几何法求方程的正根，如果能，请直接画出图形，并标注相关信息；如果不能，请说明理由。
类型7 与探索规律相结合
7.阅读下面的内容，按要求回答问题：
已知方程的两根是,-1;
方程的两根是,-2;
方程的两根是,-3;
方程的两根是,-4.
(1)请用适当的方法求方程的两根；
(2)观察上面几个方程的根的特点，直接写出方程的两根是__________,,并验证你的结果；
(3)关于x的方程的两根是,
类型8 与转化思想相结合
8.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程。例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得方程的解。
(1)方程的解是，,
(2)用“转化”的思想求方程的解；
(3)请直接写出的解：_____________。
参考答案
1.【解】(1)
(2)①∵,∴.
∴,解得,
②∵,∴.
∴或,解得,
③∵,∴(.
∴或,解得,
点方法 能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：常数项能分解成两个数的积，二次项系数能分解成两个数的积，且交叉相乘再相加恰好等于一次项的系数。当常数项是正数时，分解的两个数必同号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得一次项系数。当常数项是负数时，分解的两个数必异号，交叉相乘之和仍得一次项系数。因此因式分解时不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次项的系数，才能保证因式分解的正确性。
2.【解】(1)设，
则原方程可化为，解得y=4或y=-1,
当时，，解得;
当时，，此方程无实数解。
∴原方程的解为,
(2)设，
则原方程可化为，解得y=2或y=9.
当y=2时，，，解得x=±2;
当y=9时，，，解得
∴原方程的解为，，,
点方法 在已知条件或者待求问题中，某个代数式多次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元。
3.【解】拆项，分组得，
提公因式，得3x(2x+3)-(2x+3)=0,
再提公因式，得(2x+3)(3x-1)=0,
即2x+3=0或3x-1=0，,
4.【解】①当x≥3时，原方程可化为x -(x-3)-3=0,即
,解得x =0（不合题意，舍去）,x =1（不合题意，舍去）；
②当x<3时，原方程可化为，即x2+x-6=0,解得,
综上，原方程的解是x=-3或x=2.
5.【解】(1)
(2)设，则原方程可化为，
方程两边同时乘t，得整式方程，
解得t=±1,经检验,t=±1都是方程的解，
当t=1时，，即x+3=2x-1,
解得x=4,经检验,x=4是方程的解；
当t=-1时，即x+3=-2x+1,
解得，经检验，是方程的解。
∴原分式方程的解为x=4或
6.【解】(1)如图①，图中大正方形的边长为(x+x+4),
∵x +4x-15=0,∴x(x+4)=15.
∴大正方形的面积=4个矩形的面积+中间小正方形的面积：，
∴大正方形的边长为，即
(2)能。图形及标注如图②。
7.【解】(1)，
,
(2)1;-2025
验证：∵当x=1时，左边=1 +2024×1-2025=0=右边，当x=-2025时，左边(-2025)-2025=0=右边，∴方程的根是,-2025.
(3)1;-n
8.【解】(1)1;-2
(2),，即,∴(x+1)(x-3)=0,则x+1=0或x-3=0,解得（不符合题意，舍去）,x =3.
∴原方程的解为x=3.
(3) 【点拨或解得
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