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第二十一章 一元二次方程
专题2 根的判别式和根与系数的关系的应用
类型1 利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况
1.一次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是 （ ）
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
类型2 利用根的判别式和根与系数的关系求值
2.已知
(1)化简T;
(2)若关于x的方程有两个相等的实数根，求T的值。
3.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设x ,x 为方程的两个实数根，且16,求m的值。
4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根。
(1)求m的取值范围；
(2)若m为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为a,b，求代数式的值。
类型3 利用根与系数的关系解决新定义问题
5.若关于x的一元二次方程bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。例如：一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”。
(1)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求k的值；
(2)若关于x的一元二次方程8m=0(n≠0)是“倍根方程”，求该方程的根。
类型4 利用根与系数的关系解决几何问题
a.解决三角形问题
6.若一个等腰三角形的一边长为4，另外两边的长为的两根，则m的值为（ ）
A.32 B.36 C.32或36 D.不存在
b.解决菱形问题
7.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC,BD交于点O，且它们的长分别是一元二次方程的两个实数根,DH是AB边上的高，求DH的长度。
c.解决矩形问题
8.已知关于x的一元二次方程3=0.
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形ABCD的对角线AC的长为，且矩形两条边AB和BC的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长。
类型5 利用根与系数的关系解决论证与猜想问题
9.若，是一元二次方程(a≠0,a,b,c为常数)的两个根，则，，这个定理叫做韦达定理。
如：，是方程的两个根，则,
已知M,N是一元二次方程的两根，记
(1),
(2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明。
参考答案
1.C
2.【解】】(1)
(2)∵关于x的方程有两个相等的实数根，
3.(1)【证明】∵,
,，即.
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根。
(2)【解】∵x ,x 为方程的两个实数根，
,
3)]=16.
,,
4.【解】(1)根据题意，得，
解得
(2)∵m为(1)中符合条件的最小正整数，∴m=1.
∴对应的一元二次方程为
又∵此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为a,b,
,,
5.【解】(1)设这个方程的两个根分别为α和2α,则α+2α=,解得α=2，即这个方程的一个根为2.
将x=2代入方程x -6x+k=0,得4-12+k=0,解得k=8.
(2)设这个方程的两个根分别为β和2β,
由题意，得整理得,
将m=n代入①，得，解得β=2.
∴2β=2×2=4.∴该方程的根为x=2或x=4.
6.B
7.【解】∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴.
,
∵对角线AC,BD的长分别是一元二次方程1)x+2m=0的两个实数根，
∴AC+BD=m+1,AC·BD=2m,即2AO+2BO=m+1,2AO·2BO=2m.
,
16,
解得,
当m=-7时,AO·BO=-3.5<0,不符合题意，舍去，∴m=9.∴AC·BD=2m=18.
∵DH是AB边上的高，，
，解得
8.(1)【证明】，
∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2)【解】∵矩形的两条边AB和BC的长恰好是这个方程的两个根，
∴.
在Rt△ABC中，，即
,
,，解得k=±4.
当k=4时,AB+BC=k+1=4+1=5,∴C矩形ABCD=2(AB+BC)=2×5=10;
当k=-4时,AB+BC=-4+1=-3,不符合题意，舍去。
∴矩形ABCD的周长为10.
9.【解】(1)1;3
(2)证明如下：
∵M,N是一元二次方程的两根，∴M =M+1,N =N+1.
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