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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
基础提优题
1.下列方程：③;⑥(中，属于一元二次方程的是（ ）
A.①和② B.②和⑤ C.③和④ D.③和⑥
2.把方程化成 的形式，则a,b,c的值分别是 （ ）
A. 1,-2,-3 B. 1,-2,-6 C. 1,-2, 3 D. 1,-2,6
3.若是一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A.-1或2 B.-1 C. 2 D.0
4.我国的乒乓球“梦之队”在2024年巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）。计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
5.已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为_________。
6.若m是关于x的方程 2的解，则代数式 的值是____________。
7.已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是-3，写出一个符合要求的方程：_____________。
8.如图为长20m，宽15 m的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为200 m ，若设小道的宽为x m，则根据题意，可列方程为____________。
综合应用题
9.关于x的一元二次方程16x+1化为一般形式后不含一次项，则a 的值为 （ ）
A. 0 B. ±4 C. 4 D.-4
10.下表是代数式 的值的情况，根据表格数据，可知方程 的根是（ ）
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 12 6 2 0 0 2 6 12 …
, ,
, ,
11.若一元二次方程 化为一般形式后为 ，则一次函数 的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12. 若方程 中 a,b,c 满足4a+2b+c=0和4a-2b+c=0,则该方程的根是 （ ）
A. 1,0 B. 1,-1 C.-1,0 D. 2,-2
13.若关于x的一元二次方程 (a≠0)有一根为x=2024,则一元二次方程 必有一根为（ ）
A. x=2023 B. x=2024 C. x=2025 D. x=2026
14.为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查，若这种电子产品的销售单价定为200元时，则每天可售出300个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出5个。已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为___________________。
15.已知关于x 的一元二次方程 ,其中a,b,c分别是△ABC三边的长，若x=-1是方程的根，则△ABC是____________三角形。
16. 若两个不同的方程 和 m=0有公共根，则常数m的值是_____________。
17.如图，点O为数轴原点，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC,BC=1,再以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于D,E两点。莲莲说：“若点D,E分别表示数m,n，我发现x=m是一元二次方程 0的一个根。”琮琮说：“x=n一定不是此方程的根。”
(1)求出m,n的值。
(2)求出b的值。
(3)你认为琮琮说得对吗？为什么？
创新拓展题
18.《代数学》中记载，形如 33的方程，求正数解的几何方法如下：先构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形（如图①），得到大正方形的面积为33+16=49,则该方程的正数解为7-4=3.
(1)这个方法运用的数学思想方法是 （ ）
A.数形结合 B.分类讨论 C.类比推理 D.方程思想
(2)小明按此方法解关于x的方程。 时，构造出如图②所示的图形，请利用该图形求出方程的正数解。
参考答案
1. C 2. D 3. B 4. D 5.-3 6.-1
（答案不唯一） 【点拨】由题意可设 3x+c=0,将x=1代入 ，得a-3+c=0,∴a+c=3.∴该方程可为
8. 9. D 10. C
11. D 【点拨】一元二次方程 化为一般形式后为 ∵一元二次方程 化为一般形式后为，解得
∴.∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。故选D.
12. D 13. C
14..【点拨】由题可知，销售一个电子产品的利润为(x-100)元。
∵若该电子产品的销售单价定为200元时，则每天可售出300个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出5个；
∴销售电子产品的个数为个。
∴根据题意可列方程为.
15.等腰 【点拨】把x=-1代入0,得,所以,所以△ABC为等腰三角形。
16.-2【点拨】设方程和的公共根为t，
则①-②，得.
如果m=1，那么两个方程均为 ，不符合题意；
如果m≠1,那么t=1,把t=1代入①，得1+m+1=0,解得m=-2.
17.【解】(1)在Rt△ABC中,∵BC=1,AC=3-1=2,∴AB=,, ,,∴点D表示的数为，即，点E表示的数为，
即
(2)把代入方程，得1)b-4=0,解得b=-2.
(3)琮琮说得不对。理由如下：由(2)可知一元二次方程为 2x-4=0.把 代入，得 ， 一定是此方程的根。
18.【解】(1)A
(2)构造一个面积为x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为8-2×3=2.
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