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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础提优题
1.已知关于的一元二次方程有一个根为-2，则另一个根为（ ）
A. 7 B. 3 C. -7 D. -3
2.一元二次方程 的两根为,则 的值为 （ ）
A. B.-3 C. 3
3.关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根，一个负根 D.无实数根
4.若关于x的一元二次方程 的两个实数根为x ,x ，且则实数m的取值范围是_____________。
5.若一元二次方程 的两根为,则 的值为____________。
6.若菱形两条对角线的长度是方程 的两根，则该菱形的面积为________________。
7.关于x 的一元二次方程的两根为,且，求m的值。嘉佳的解题过程如下：
解:∵,,
整理，得 ，解得 ,
嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程。
综合应用题
8.若一元二次方程 的两个根为,则一次函数的大致图象是 （ ）
9.已知关于x 的一元二次方程 ，下列说法中正确的有
（ ）
①若,则方程 有一个根是 1;
②若方程的两根为-1和2,则有 2a+c=0成立；
③若c是方程 的一个根，则有ac+b+1=0成立。
A.0个 B.1个 C.2个 D. 3个
10.若m,n为方程1=0 的两根，则 的值为 （ ）
A. 1 B. -1 C.-4049 D.4049
11.已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，且这个直角三角形斜边上的中线长是 则k的值是 （ ）
A. 8 B. -8 C.8或-8 D.4或-4
12.已知a,b是方程 的两根，则代数式 的值是____________。
13.已知实数m,n满足 ， 1=0,且m≠n. 若a≥3,则代数式 的最小值是____________。
14.设x ,x 是关于x的方程 的两个实数根，是否存在实数k，使得 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
15.已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x ,x 是方程的两个实数根，且 ，求m的值。
创新拓展题
16.阅读材料，解答问题：
已知实数满足，1=0,且,则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道m与n的和，m与n的积。根据上述材料，解决以下问题：
(1)【材料理解】;
(2)【类比应用】
已知实数a,b满足 ， 1=0,且a≠b,求 的值；
(3)【思维拓展】
已知实数s,t满足 ， 2=0,且,求 的值。
参考答案
1. A
2. C 【点拨】∵一元二次方程 的两根为,, , ,
3. C 【点拨】化简关于x的方程 p为常数)，得 ， 方程有两个不相等的实数根.根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为 ∴方程的两个实数根为一个正根，一个负根，故选C.
5. 6 6.
7.【解】嘉佳的解题过程漏考虑了△≥0这一条件。正确的解题过程如下：
根据题意得 ，解得
, ,
整理，得 ，解得 ， （舍去），
∴m的值为-1.
8. B
9. D 【点拨】当时,,∴方程 有一个根是1，正确，故①符合要求；∵方程的两根为-1和2 ， ， ，正确，故②符合要求；∵c是方程 的一个根， ，即.,正确，故③
符合要求。故选D.
10. B 【点拨】∵m,n为方程 的两根， , , . , ,故选B.
11. B 【点拨】设这个三角形的两条直角边的长分别为a,b.∵三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，，∵这个直角三角形斜边上的中线长是，∴这个直角三角形斜边的长为，，即解得，故选B.
12.36【点拨】∵a,b是方程 的两根。 ,
13.3 【点拨, , ,1.∵实数满足 ， ，且,∴m,n可看作关于x的一元二次方程的两根， ，∴当时， 有最小值，最小值为
14.【解】不存在。理由：由题意得△,解得.
∵是一元二次方程 的两个实数根，
,
又∵ ， ,
∴不存在实数k，使得 成立。
15.(1)【证明】 ，∴无论m为何值，方程总有实数根。
(2)【解】由题意知 ， ，
,
,整理得 ，解得或
16.【解】(1)1;-1
(2)∵实数a,b满足 ， ，且a≠b,
∴实数a,b是关于x的方程 的两个不相等的实数根。
∴.
(3)当时,.
,
,
, ,
∴s, 是关于x的方程 的两个不相等的实数根。
,
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