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2024-2025学年四川省成都市成华区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.计算：( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，为坐标原点，若与共线，则( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.某公园要在一块扇形区域中设计一块矩形草坪，如图所示，在扇形中，半径米，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形草坪的面积为平方米，则面积的最大值为平方米．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
B.
C. 是函数的对称中心
D. 是函数的一条对称轴
10.下列说法正确的是( )
A. 在中，，为的中点，则
B. 在中，与满足，则是等腰三角形
C. 已知，，若与的夹角是钝角，则
D. 在边长为的正方形中，点在边上，且，点是中点，则
11.在高校航天创新实验室里，一群航空航天专业的学生正着手设计新型科研卫星模型，他们采用表面积为平方米的特殊合金材料打造卫星外壳，该材料具备优异的抗辐射和隔热性能，可应对复杂的太空环境卫星内部，根高强度钛合金杆组成正方体支撑框架，用于稳固内部精密仪器为保障卫星在太空运行时的稳定性，学生们需要探究外壳各个部位与内部框架间的受力情况，以此优化结构设计，确保卫星能在复杂的宇宙环境中可靠工作如图所示，作出支架的直观图正方体，设为外壳上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在无数个点，使得平面
B. 当平面平面时，点的轨迹长度为
C. 当平面时，点的轨迹长度为
D. 不存在点，使得平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则______．
13.已知向量，的夹角为，，，则______．
14.已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
设函数，．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
求的值；
若，求面积的取值范围．
19.本小题分
在三棱锥中，，点在平面内的投影为，连接．
如图，证明：；
如图，记，直线与平面的夹角为，，求证：，并比较和的大小；
如图，已知，，，为平面内一点，且，求异面直线与直线夹角的最小值．
参考答案
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14.
15.解：，，，
则，解得，
故；
，
，
则，解得．
16.，
所以最小正周期，
令，，则，，
所以的单调递增区间为，．
因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为，此时的值为；最大值为，此时的值为．
17.证明：连接，
由正方形的性质知，为的中点，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面D.
解：因为侧面，均为正方形，
所以，，
又，所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
由题意知，是等腰直角三角形，
因为点是棱的中点，所以，且，
又，所以平面，
而，平面，
所以，，
所以，，
所以，，
设到平面的距离为，
因为，
所以，解得，
即到平面的距离为．
18.因为，
由正弦定理得，整理可得，
由余弦定理得，
因为，
所以；
在锐角中，，，记的面积为，
由正弦定理得，即，，
所以，
因为在锐角中，，，
解得，，
则，
故
19.证明：取的中点为，连接，，
由，为的中点，得，由，为的中点，得，
而，，平面，
则平面，又平面，
所以；
证明：由知，，而平面，平面，
则，又，，平面，
于是平面，而平面，
因此，
又，为锐角，
过点向作垂线，垂足为点，连接，
则，
由点在平面内的投影为，得，
由平面，平面，得，
而，，，平面，
则平面，
由平面，则，于是，显然，
因此，
当时，，重合，等式成立，所以，
由，得，又函数在上单调递减，
所以．
设点到平面的距离为，直线与直线的夹角，直线与平面的夹角，
由知，，，
，
，且，
由，
得，而，
则直线与平面所成角，
则，即，
由知，直线与直线的夹角，
所以异面直线与直线夹角的最小值为．
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