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2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中，，三位游客所在位置如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
7.长方体中，，，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
8.设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为( )
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的有( )
A. 一组数据，，，，，，，，，的下四分位数为
B. 若随机变量，，则
C. 已知，，则
D. 在的展开式中，的系数是
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小值为
B. 函数的一个对称轴为
C. 函数在区间单调递减
D. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，函数在上有且仅有个零点
11.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 当时，在点处的切线方程为
B. 当时，的极小值为
C. 若不等式在，时恒成立，则
D. 若函数恰有个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆柱的侧面积为，底面半径为，则圆柱的体积为______．
13.若是定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
14.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键次，每次点击随机生成数字或或，点击结束后，生成的个数字之和即为奖券码，并规定：如果奖券码为，则获一等奖；如果奖券码为的正整数倍，则获二等奖；其它情况不获奖已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，是的导函数．
求的值；
求的最值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，、分别是、的中点．
求证：平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知向量，，函数．
注：表示向量、的夹角
求函数；
若锐角的三内角、、的对边分别是、、，且，
求；
(ⅱ)求的取值范围．
18.本小题分
某单位有名员工，其中男员工人，女员工人，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为，方差为，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为，方差为为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅和素食餐厅两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，第二天选择餐厅的概率为；前一天选择了餐厅的员工第二天选择餐厅的概率为，第二天选择餐厅的概率为，如此往复．
求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取名员工，再从这名员工中随机选择人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
设第天选择餐厅用餐的概率为，求；经过一年天后，在餐厅和餐厅就餐的员工趋于稳定，如果餐厅准备每天人的用餐，是否合理，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆过点，焦距为．
求的方程；
若，过作两条相互垂直的直线，与曲线分别交于，，，四点，设线段，与的中点分别为，．
证明：直线过定点；
求四边形面积的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】因为，所以，
所以．
因为．
令，则恒成立，所以在上单调递增．
又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值也是最小值，无最大值，且，
即的最小值为，无最大值．
16.【答案】证明：取线段、的中点分别为、，连接、、，
则，，，，又底面是正方形，
则，，即四边形为平行四边形，
则，又，平面，则平面．
为中点，连接、，
又，底面是边长为的正方形，
则，且，，
又二面角的大小为，即平面平面，
又平面，平面平面，
则平面，则是直线与平面所成角，
在中，，即，
则直线与平面所成角的大小为．
17.因为向量，，
所以，
又，，
所以．
由有，因为，所以，
所以，解得，
又，所以．
因为，，所以，
所以
，
又为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
即．
所以的取值范围是．
18.由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
；
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
；
按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取名员工，则抽取名男员工，名女员工．
从这名员工随机选择人，记抽到男员工的人数为，可得的取值为，，．
，
可得的分布列为：
；
设第天选择餐厅用餐的概率为，，
则可得：．
因此，
因此，
因此是以为首项，为公比的等比数列．
因此，
因此，即一年以后，员工选择餐厅的概率约为．
设名员工选择餐厅的人数为，，
因此名员工中选择餐厅的平均人数约为人，
，餐厅每天准备人的用餐是不合理的．
19.解：椭圆过点，可得，
焦距为，，联立方程组，解得，则，
椭圆的方程为．
证明：当两条直线的斜率都存在时，不妨设：，，
设，，，，
联立直线与椭圆的方程，得，消去整理得，
易知，根据韦达定理可知，，
，，
即同理，
，
，
令，得，此时直线恒过．
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知：，仍经过，
直线过定点．
解：当两条直线的斜率都存在时，不妨设：；，
由得：．
同理，
则，
，
根据基本不等式，当且仅当时等号成立，
，
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知．
综上，四边形面积的取值范围为．
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