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2024-2025学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.用，，，这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
3.对四组数据进行统计，获得如图散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5.连续型随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数的导函数为，若，，则的解集为( )
A. B. C. D.
7.由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点的最短路径有( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
8.甲同学参加综合素质测试，该测试共有个项目已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得分，不合格扣分，且各项目是否合格相互独立设个项目测试完后甲的总得分为，期望为，方差为，当最大时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中仅第项的二项式系数最大，则( )
A. B. 含项的系数为
C. 各二项式系数和为 D. 各项系数和为
10.已知函数，则( )
A. 的极大值为 B. 对，
C. 的单调递增区间为 D. 当时，
11.与两人玩游戏，有标号为，，，，的张卡片，有标号为，，，，，的张卡片规则如下：双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；先从手中抽取；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则( )
A. 若，则恰好在两人共抽取次后获胜的概率为
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.口袋中有大小、形状均相同的个红球，个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为______．
13.两个相关变量，的一组数据统计如表：
根据上表可得经验回归方程中的为，据此经验回归方程，当时，的预测值为______．
14.过点可以作曲线的三条切线，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从某校高一年级全体学生中随机抽取人，进行文理选科倾向调查，得到如表列联表：
性别
倾向 男生 女生 合计
偏理科
偏文科
合计
请完成上述列联表；
从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率；
根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关．
参考数据：
．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
若在上恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
证明：，其中，；
化简：，其中．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束设每局游戏双方获胜的概率都为．
求甲获得第二局比赛胜利的概率；
在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率；
已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，不等式恒成立，求的取值范围；
设，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.列联表如下：
性别
倾向 男生 女生 合计
偏理科
偏文科
合计
女生共人，其中偏文科人，概率为：；
，
因为，所以在小概率值下，拒绝原假设，认为性别与选科倾向有关．
16.，
因为在处取得极值，
所以，得．
由知，
若在上恒成立，则在上恒成立，
所以只需，，
，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以在处取得极大值，
又，
所以在上的最大值为，
所以，
所以的取值范围为．
17.证明：左边，右边，
因此左边等于右边，
故成立；
设，
则，
其中，
对于，当时项为，
所以可写为，
由的结论，
则令，
而，
因此，
综上，．
18.根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为，，，
，
设甲获得第二局比赛胜利为事件，若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，
若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可，
所以，
甲获得第二局比赛胜利的概率；
由题知，
所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为；
由题知比赛最多进行局，则的取值可以为，，，
时，丙分别在第局和第局输了比赛，所以，
时，丙在，局获胜，第局输，第局继续比赛，所以，
所以，
则分布列为：
．
19.当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
函数，求导得，，
令，求导得，，
当，即时，由，则存在，使得当时，，
函数在上单调递增，当时，，
函数在上单调递增，因此与矛盾；
当，即时，此时，，
下面证明恒成立即可，即证，
令，求导得，
函数在上单调递减，因此恒成立，
则，即，因此，即恒成立，
所以的取值范围为．
证明：由知，当时，，
取，，则，
因此，即，
则，
所以．
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