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2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在数轴上表示不等式x≥2的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2
B．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）
C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
4．（3分）已知a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．a﹣6＞b﹣6 B．3a＞3b C．﹣2a＜﹣2b D．
5．（3分）选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正八边形
6．（3分）如图，直线l：y＝ax+b经过点A（﹣2，﹣1），与直线m：y＝cx+d交于点B，点B的横坐标是1，则不等式组cx+d＞ax+b＞﹣1的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．10 C．12 D．20
8．（3分）下列说法正确的个数是（　　）
①等腰三角形的高、中线、角平分线重合；
②三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等；
③一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图， ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，BC＝5，EF＝1，则AB长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图，面积为6cm2的△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则△ABC纸片扫过的面积为（　　）
A．18cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为t℃，那么t应满足条件是 　 　 ．（用含有t的不等式表示）
12．（3分）已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设　 　 ．
13．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　 　 ．
14．（3分）如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，且BC＝2AB＝4，当∠B＝60°时，DE的长为　 　 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为　 　 ．
三、解答题（本题共7小题，共75分）
16．（10分）计算下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决相关问题．
．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）该同学解答过程是从第　 　 步开始出错的，其错误的原因是　 　 ；
（2）请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组的一个整数解．
17．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，2），（1，1），请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1），画出△A1B1C1．
（2）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB2C2（点B，C的对应点分别为B2，C2），画出△AB2C2．
（3）请直接写出以A，B2，A1，C为顶点的四边形的面积．
（4）在线段AC上画一点D，使得△ADB的面积是△ABC面积的．
18．（12分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．
（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19．（9分）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD与CB相交于点E．
（1）请你添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明；
（2）在第（1）问的条件下延长AC、BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
20．（11分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，则12、20、28这三个数都是完美数．
（1）按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）　 　 ；
（2）证明：任意一个完美数都能够被4整除；
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为40，求阴影部分的总面积．
21．（11分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q，设点P的运动时间为t s．
（1）求BQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
（3）当点O在线段CQ的垂直平分线上时，直接写出t的值．
22．（12分）【问题提出】
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，点P为CD的中点，作射线AP交BE于点F，判断AP与BE的位置关系与数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出AP和BE的关系　 　 ；
（2）再探究一般情况，如图所示，判断AP与BE的关系，并说明理由；
【问题应用】
（3）当BC＝9，且BD＝CP时，请直接写出AP的长．
2024-2025学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D D A C C A D
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2．（3分）在数轴上表示不等式x≥2的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在数轴上表示不等式x≥2的解集为，
故选：D．
3．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2
B．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）
C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，
x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）符合因式分解的定义，则B符合题意，
x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，则C不符合题意，
（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则D不符合题意，
故选：B．
4．（3分）已知a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．a﹣6＞b﹣6 B．3a＞3b C．﹣2a＜﹣2b D．
【解答】解：A．若a＞b，则a﹣6＞b﹣6，故选项A成立；
B．若a＞b，则3a＞3b，故选项B成立；
C．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，故选项C成立；
D．若a＞b，则，故选项D不成立．
故选：D．
5．（3分）选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正八边形
【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意；
B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意；
C、正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺，不符合题意；
D、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，直线l：y＝ax+b经过点A（﹣2，﹣1），与直线m：y＝cx+d交于点B，点B的横坐标是1，则不等式组cx+d＞ax+b＞﹣1的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0
【解答】解：根据图象可知，不等式组cx+d＞ax+b＞﹣1的解集为：﹣2＜x＜1，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．10 C．12 D．20
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），
∴S△ADE＝S△ACD＝6．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝6，
∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝12．
故选：C．
8．（3分）下列说法正确的个数是（　　）
①等腰三角形的高、中线、角平分线重合；
②三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等；
③一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角等于60°；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，原说法不正确，故①不符合题意；
②三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，原说法正确，故②符合题意；
③一个正多边形的内角和为720°，
∴180°（n﹣2）＝720°，
解得n＝6，即该多边形是正六边形，
∴这个正多边形的每个外角为60°，原说法正确，故③符合题意；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法不正确，故④不符合题意；
⑤三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，原说法正确，故⑤符合题意；
∴正确的个数有3个．
故选：C．
9．（3分）如图， ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，BC＝5，EF＝1，则AB长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝5，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，DC＝AB，
∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，
∵BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠ABF＝∠CBF，∠DCE＝∠BCE，
∴∠AFB＝∠ABF，∠DEC＝∠DCE，
∴AF＝AB，DE＝DC＝AB，
∵EF＝1，
∴AF+DE＝2AB＝AE+EF+DE＝AD+EF＝5+1＝6，
∴AB＝3，
故选：A．
10．（3分）如图，面积为6cm2的△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则△ABC纸片扫过的面积为（　　）
A．18cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
【解答】解：∵△ABC纸片沿BC方向平移至△DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，四边形ABED是平行四边形，
∵平移的距离是BC长的2倍，
∴BE＝2BC，
∵四边形ABED与△ABC的高相等，
∴S四边形ABED＝4S△ABC，
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为t℃，那么t应满足条件是 　10≤t≤19　 ．（用含有t的不等式表示）
【解答】解：由图可知，郑州市这天的最高气温是19℃，最低气温是10℃，
∴设这天气温为t℃，则t满足：10≤t≤19；
故答案为：10≤t≤19．
12．（3分）已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设　这五个数都小于　 ．
【解答】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于，
故答案为：这五个数都小于
13．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　 ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
14．（3分）如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，且BC＝2AB＝4，当∠B＝60°时，DE的长为　2　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∵BC＝2AB＝4，
∴AD＝4，DC＝AB＝2，
∵点E是BC的中点，
∴EB＝ECBC＝2，
∴AB＝EB＝DC＝EC，
∵∠B＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∠ADE＝∠CED＝∠CDE∠ADC＝30°，
∴AE＝AB＝2，∠DAE＝∠AEB＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝90°，
∴DE2，
故答案为：2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，点P是边BC上一动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为　4　 ．
【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝8，连接DP，过点D作DE⊥BC于点E，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
由旋转可知AQ＝AP，∠PAQ＝60°＝∠CAB，
∴∠CAB﹣∠CAP＝∠PAQ﹣∠CAP，即∠CAQ＝∠PAD，
又∵AD＝AC，AQ＝AP，
∴△CAQ≌△DAP（SAS），
∴CQ＝DP，
∴当DP最短时，CQ最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，DP最短，即为DE的长．
∵AC＝8，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝16，
∴BD＝AB﹣AD＝8．
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠B＝30°，
∴，
∴线段CQ的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（本题共7小题，共75分）
16．（10分）计算下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决相关问题．
．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）该同学解答过程是从第　二　 步开始出错的，其错误的原因是　括号前面是负号，去括号时没有变号　 ；
（2）请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组的一个整数解．
【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得该同学解答过程是从第二步开始出错的，
其错误的原因是括号前面是负号，去括号时没有变号，
故答案为：二；括号前面是负号，去括号时没有变号；
（2）原式


；
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x≤2，
故原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
则其整数解为﹣1，0，1，2，
∵（x+1）（x﹣1）≠0且x﹣2≠0，
∴x≠±1且x≠2，
∴x＝0，
原式1．
17．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，2），（1，1），请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1），画出△A1B1C1．
（2）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB2C2（点B，C的对应点分别为B2，C2），画出△AB2C2．
（3）请直接写出以A，B2，A1，C为顶点的四边形的面积．
（4）在线段AC上画一点D，使得△ADB的面积是△ABC面积的．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
（3）以A，B2，A1，C为顶点的四边形的面积为．
（4）如图，取AC的中点D，
则点D即为所求．
18．（12分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．
（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为（a+5）元，
根据题意得：，
解得：a＝25，
经检验，a＝25是所列分式方程的解，
∴a+5＝30，
答：A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；
（2）购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由如下：
设购买A类图书x本，则购买B类图书（120﹣x）本，
由题意得：，
解得：60≤x≤80，
设购买总费用为w，
由题意得：w＝25×0.8x+30×0.6（100﹣x）＝2x+1800，
∵2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w有最小值，
此时，100﹣x＝40，
答：购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱．
19．（9分）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD与CB相交于点E．
（1）请你添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明；
（2）在第（1）问的条件下延长AC、BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）添加条件为：∠CAB＝∠DBA，
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，
∴△ACB≌△BDA（AAS）；
（2）是，证明如下：如图所示，延长AC、BD 交于点P，
∵△ACB≌△BDA，
∴AC＝BD，
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CEA＝∠DEB，
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BC，
∵∠ACB＝∠BDA＝90°，
∴∠ADP＝∠BCP＝90°，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP≌△BCP（AAS），
∴AP＝BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∴直线PE是线段AB的垂直平分线．
20．（11分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，则12、20、28这三个数都是完美数．
（1）按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）　36＝102﹣82　 ；
（2）证明：任意一个完美数都能够被4整除；
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为40，求阴影部分的总面积．
【解答】（1）解：36＝102﹣82，
故答案为：36＝102﹣82（答案不唯一）；
（2）证明：设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为自然数，则完美数为[2（n+1）]2﹣（2n）2，
∴[2（n+1）]2﹣（2n）2
＝[2（n+1）﹣2n][2（n+1）+2n]
＝2（4n+2）
＝4（2n+1），
∵n为自然数，
∴2n+1为正整数，
∴4（2n+1）能被4整除，
即任意一个完美数都能够被4整除；
（3）解：根据题意，得：
＝（4﹣2）（4+2）+（8﹣6）（8+6）+…+（40+38）（40﹣38）
＝2（4+2）+2（8+6）+…+2（40+38）
＝2（2+4+6+8+…+38+40）
＝840．
21．（11分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q，设点P的运动时间为t s．
（1）求BQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
（3）当点O在线段CQ的垂直平分线上时，直接写出t的值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠AOP＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝10，
∴BQ＝10﹣t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝10﹣t，
解得t＝5，
∴当t＝5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）如图，过点O作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
∴，，
∴，
∴AB AC＝BC EF，
∴6×8＝10EF，
∴，
∴，
∵OF是CQ的垂直平分线，
∴，∠AEO＝90°，
由勾股定理得CF2+OF2＝CO2，
∴42，
∴t或t（舍），
∴当t秒时，点O在线段CQ的垂直平分线上．
22．（12分）【问题提出】
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，点P为CD的中点，作射线AP交BE于点F，判断AP与BE的位置关系与数量关系．
【问题探究】
（1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出AP和BE的关系　AP⊥BE，APBE　 ；
（2）再探究一般情况，如图所示，判断AP与BE的关系，并说明理由；
【问题应用】
（3）当BC＝9，且BD＝CP时，请直接写出AP的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴当点D与点B重合时，点E于点C重合，如图1所示：
∵P为CD的中点，
∴AP⊥BE，APBE，
故答案为：AP⊥BE，APBE，
（2）AP与BE的关系是：AP⊥BE，APBE，理由如下：
延长AP到M，使MP＝AP，连接MD，MC，如图2所示：
∴APAM，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵MP＝AP，点P为CD的中点，
∴四边形ADMC是平行四边形，
∴DM＝AC＝AB，DM∥AC，
∴∠MDC＝∠ACB＝45°，∠DMA＝∠CAF，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，
∴∠MDA＝∠MDC+∠ADC＝45°+45°+∠BAD＝90°+∠BAD，
由旋转的性质得：AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝90°+∠BAD，
∴∠MDA＝∠BAE＝90°+∠BAD，
在△MDA和△BAE中，
，
∴△MDA≌△BAE（SAS），
∴AM＝BE，∠DMA＝∠ABE，
又∵APAM，
∴APBE，
∵∠DMA＝∠CAF，∠DMA＝∠ABE，
∴∠CAF＝∠ABE，
∵∠BAF+∠CAF＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABE）＝90°，
∴AF⊥BE，
∴AP与BE的关系是：AP⊥BE，APBE；
（3）连接CE，如图3所示：
∵点P为CD的中点，
∴CP＝DP，
∵BC＝9，且BD＝CP，
∴BD＝CP＝DPBC＝3，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝3，∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ABC+∠ACE＝90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE3，
由（2）得：APBE．

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