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2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（﹣x2）3＝x6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．3x2﹣4x2＝﹣x2
2．（2分）若有意义，则下列说法正确的是（　　）
A．x＞3 B．x≠3 C．x＞3且x≠0 D．x≠0
3．（2分）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A．46° B．64° C．52° D．56°
4．（2分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2 3x
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
5．（2分）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
6．（2分）某校在“爱护水资源”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）（　　）
A．27篇 B．25篇 C．24篇 D．18篇
7．（2分）在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
8．（2分）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2分）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是x1＝3，；的解是x1＝4，；的解是x1＝5，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程（m≠0）的解是x1＝m，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（　　）
A．x1＝m， B．x1＝m，
C．x1＝m﹣1， D．
10．（2分）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　 　 ．
12．（3分）已知2x＝3，22y＝5，则2x﹣2y的值为 　 　 ．
13．（3分）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：a@b＝2a+b，例如3@4＝2×3+4＝10．若x@（﹣y）＝3，（2y）@x＝5，则x+y的值为 　 　 ．
14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ 　 　 ．
15．（3分）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　 　 度．
16．（3分）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（124）＝ 　 　 ；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k，当F（s）+F（t）＝16时，则k的值是 　 　 ．
三、解答题（本大题共有8小题，共62分）
17．（6分）计算下列各题：
（1）；
（2）（x﹣3）2﹣（2﹣x）（2+x）．
18．（6分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（6分）因式分解：
（1）ab﹣2a2b+a3b；
（2）（a﹣b）2+b﹣a．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝4．
21．（8分）学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，共调查了多少名学生？
（2）求在扇形统计图中，喜欢“足球”的所占的圆心角度数；
（3）如果全校共有学生2000名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？
22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD．
（1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
23．（10分）根据以下素材，完成任务．
素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下：
人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200
收费标准（元/人） 6x 85 5x
素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人．
素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元．
任务一 求x的值．
任务二 C公司和D公司分别有多少人？
24．（12分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D C A B C B D
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（﹣x2）3＝x6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．3x2﹣4x2＝﹣x2
【解答】解：x2 x3＝x5，则A不符合题意，
（﹣x2）3＝﹣x6，则B不符合题意，
（x+y）2＝x2+2xy+y2，则C不符合题意，
3x2﹣4x2＝﹣x2，则D符合题意，
故选：D．
2．（2分）若有意义，则下列说法正确的是（　　）
A．x＞3 B．x≠3 C．x＞3且x≠0 D．x≠0
【解答】解：若有意义，
则x﹣3≠0，
解得x≠3，
故选：B．
3．（2分）在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（　　）
A．46° B．64° C．52° D．56°
【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FHG．
又∵∠1+∠E＝∠FHG，
∴∠2＝∠1+∠E＝26°+30°＝56°．
故选：D．
4．（2分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2 3x
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1是乘法运算，则A不符合题意，
6x＝2 3x中等号左边是单项式，则B不符合题意，
x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故选：D．
5．（2分）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x，
故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）．
故选：C．
6．（2分）某校在“爱护水资源”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30．那么在这次评比中，被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）（　　）
A．27篇 B．25篇 C．24篇 D．18篇
【解答】解：由题意可知：分数在89.5﹣99.5段的频率为1﹣0.05﹣0.15﹣0.35﹣0.30＝0.15，
则由频率＝频数÷总数得：分数在79.5﹣99.5段的频率为0.30+0.15＝0.45，
则这次评比中被评为优秀的调查报告有60×0.45＝27篇；
故选：A．
7．（2分）在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
【解答】解：A．4x2+1+4x＝（2x+1）2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B．4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C．4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，即是整式2x﹣1的完全平方，故本选项不符合题意；
D．4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．（2分）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
9．（2分）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是x1＝3，；的解是x1＝4，；的解是x1＝5，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程（m≠0）的解是x1＝m，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（　　）
A．x1＝m， B．x1＝m，
C．x1＝m﹣1， D．
【解答】解：∵，
∴
∴xm，
∴x﹣1m﹣1，
∴x﹣1＝m﹣1或x﹣1，
∴x1＝m，x2．
故选：B．
10．（2分）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
【解答】解：要使“潜力之星”最多，可将每名学生的长处与其他同学的短处相比较；
取45人一种特殊情况：他们中语文成绩与英语成绩都互不相等，并且语文成绩最高者英语成绩最低，语文成绩次高者英语成绩次低，
这样以来，语文成绩最好的学生（语文优于其他44人）自然是“潜力之星”，语文成绩第二的学生（优于其他43人）英语比较是倒数第二（优于1人），他也是“潜力之星”，
同理可说明45人可以都是“潜力之星”，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　 ．
【解答】解：4x2﹣1
＝（2x）2﹣12
＝（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．
12．（3分）已知2x＝3，22y＝5，则2x﹣2y的值为 　　 ．
【解答】解：∵2x＝3，22y＝5，
∴2x﹣2y＝2x÷22y＝3÷5，
故答案为：．
13．（3分）对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：a@b＝2a+b，例如3@4＝2×3+4＝10．若x@（﹣y）＝3，（2y）@x＝5，则x+y的值为 　　 ．
【解答】解：由新定义，得，
①×4，得8x﹣4y＝12③，
②+③，得9x＝17，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴．
故答案为：．
14．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ 　﹣1　 ．
【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）＝﹣2m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，
解得x＝1，
∴2﹣3（1﹣1）＝﹣2m，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（3分）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向上折叠，点A落在点A'处，当DA'∥BC时，∠DEC＝ 　57.5　 度．
【解答】解：∵DA'∥BC，
∴∠ADA′＝∠B＝65°．
由折叠的性质，可得：∠ADE＝∠A′DE，
∵∠ADA′＝∠ADE+∠A′DE，
∴∠ADE∠ADA′65°＝32.5°．
∵∠DEC是△ADE的外角，
∴∠DEC＝∠A+∠ADE＝25°+32.5°＝57.5°．
故答案为：57.5．
16．（3分）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（124）＝ 　7　 ；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k，当F（s）+F（t）＝16时，则k的值是 　　 ．
【解答】解：（1）根据“相异数”的定了可得124的三个新三位数为：214，421，142，
∴F（124）＝（214+421+142）÷111＝777÷111＝7，
故答案为：7；
（2）∵s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y，
∴F（s）＝（302+10x+230+x+100x+23）÷111＝x+5，
F（t）＝（510+y+100y+51+105+10y）÷111＝y+6，
∵F（s）+F（t）＝16，
∴x+5+y+6＝x+y+11＝16，
∴x+y＝5，
∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，
∴或或或，
∵s是“相异数”，
∴x≠2且x≠3，
∵t是“相异数”，
∴y≠1，
∴，
∵x＝1，y＝4，F（s）＝5+x＝6，F（t）＝6+y＝10，
∴k，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8小题，共62分）
17．（6分）计算下列各题：
（1）；
（2）（x﹣3）2﹣（2﹣x）（2+x）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4
＝﹣3；
（2）原式＝x2﹣6x+9﹣（4﹣x2）
＝x2﹣6x+9﹣4+x2
＝2x2﹣6x+5．
18．（6分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①×3﹣②，得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①，得﹣20+y＝7，
解得y＝27，
所以方程组的解是；
（2），
方程两边同乘x﹣2，得x﹣1＝﹣3﹣（x﹣2），
解得x＝0，
检验：当x＝0时x﹣2≠0，
所以原分式方程的解是x＝0．
19．（6分）因式分解：
（1）ab﹣2a2b+a3b；
（2）（a﹣b）2+b﹣a．
【解答】解：（1）原式＝ab（1﹣2a+a2）
＝ab（1﹣a）2；
（2）原式＝（b﹣a）2+（b﹣a）
＝（b﹣a）（b﹣a+1）．
20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝4．
【解答】解：



，
当a＝4时，原式．
21．（8分）学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，共调查了多少名学生？
（2）求在扇形统计图中，喜欢“足球”的所占的圆心角度数；
（3）如果全校共有学生2000名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？
【解答】解：（1）扇形统计图中其它部分占20%，条形图中其它的人数是40人，
40÷20%＝200（名），
答：在这次问卷调查中，共调查了200名学生；
（2）扇形统计图中“足球”的比例是15%，
∴喜欢“足球”的所占的圆心角度数360°×15%＝54°；
（3）羽毛球的占比是：1﹣40%﹣20%﹣15%＝25%，
2000×25%＝500（人），
答：估计该校最喜欢“排球”的学生约有500人．
22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD．
（1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
【解答】（1）解：∵AB∥ON，∠O＝40°，
∴∠OCB＝180°﹣∠O＝140°，
∵CD平分∠OCB，
∴∠BCD∠OCB＝70°；
（2）证明：∵CE⊥CD，
∴∠OCE+∠DCO＝90°，
∵∠ACB＝180°，
∴∠ECA+∠DCB＝90°，
∵CD平分∠OCB，
∴∠DCB＝∠DCO，
∴∠ACE＝∠ECO，
∴CE平分∠OCA．
23．（10分）根据以下素材，完成任务．
素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下：
人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200
收费标准（元/人） 6x 85 5x
素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人．
素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元．
任务一 求x的值．
任务二 C公司和D公司分别有多少人？
【解答】解：（任务一）根据题意得：160，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为15；
（任务二）设C公司有x人，D公司有y人，
∵17850÷85＝210（人），210＞200，
∴x+y＞200．
当100＜x≤200时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
当x＞200时，，
解得：．
答：C公司有210人，D公司有28人．
24．（12分）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
【解答】解：（1）1；
2（x﹣1）；
（2）
＝x2
＝x2﹣3x+9；
（3）∵1，
1，
因为M+N＝3，
所以113，
即1，
令x﹣5＝a，7y﹣5＝b，
∴，
∴ab﹣5a﹣5b＝0，
∴ab﹣5a﹣5b+25＝25，
∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25，
∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25，
∴（a﹣5）（b﹣5）＝25，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去），
∴a＝6，b＝30，
∴x＝11，y＝5，
经检验，符合题意，
∴x＝11，y＝5．

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