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2024-2025学年重庆一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量满足，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，则的充要条件的是( )
A. B. C. 或 D.
4.若方程：表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.印章乃中华文明独特信物，多以铜玉为材，形制方圆各异自秦汉玺印至明清篆刻，方寸之间承载三千年文脉，既是实用之器，更成艺术瑰宝如图是一个金属印章，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，均为，正四棱锥的侧棱与底面夹角的正弦值为，则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
6.若圆：上有两点关于直线：对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 若直线在轴上的截距为，则
C. 若直线与直线垂直，则
D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为
10.如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 平面
C. 直线与是异面直线
D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形
11.已知直线：，其中，点是直线上的一个动点圆：，其中，点是圆上的一个动点则下列说法中正确的是( )
A. 当时，圆心到直线的距离为
B. 当时，是坐标原点，则的最小值为
C. 当时，不存在，使圆与直线相离
D. 存在，使对任意的，圆与直线均相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别为，，，若，则 ______．
13.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，经过点，的圆与轴相切于点，则______．
14.如图，半径为的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为．
求椭圆的方程；
在中，求的最小值．
17.本小题分
已知梯形中，，，，如图将沿折起到，得到三棱锥，如图，、分别为棱、的中点．
若，求证：平面平面；
若，求二面角的正弦值；
是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，定义，为两点，的“棋盘距离”源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”直线：．
已知圆：，圆的圆心分别为，，且，判断圆与圆的位置关系；
若直线与问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点：若问结论中的圆与轴自上而下交于，两点．
设，求的值；
求证：直线、交点在定直线上．
19.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，．
若的面积为，
，求的值；
求的最小值．
若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.证明：因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
平面，因为，
所以，又，，则，
故，
所以，
又，，
则在中，边上的高为，
设点与平面的距离为，
因为，所以，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.因为的周长为，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
由知，椭圆的半焦距，，，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
则的最小值为．
17.证明：梯形中，，，，
所以，，
所以，所以，
又，，平面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面．
解：因为、分别为棱、的中点，所以，
所以，又，所以为二面角的平面角，
因为，所以平面平面，
所以平面，，平面，
所以，，又，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，取，则，
所以，，
所以二面角的正弦值为．
由可知平面，故分别以，为，轴的正方向，轴在平面内且以向上的方向为正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设，因为，所以，又，，
设平面的一个法向量为，则，
即，取，则，
则点到平面的距离为，所以，
因为，所以，即，
所以或，因为，所以或，
因为，所以，，所以，
所以存在点，使得点到平面的距离为．
18.圆，
转化为标准方程为：，
，，，，
或，，，，，
：，，
，，，
与相交；
直线：，：，设，，
由消去得：，
由韦达定理，，，
由有，
同理由有，
，
将韦达定理代入，
；
证明：，，则直线，
直线，
联立两直线方程消得：，
由韦达定理有，
即代入可得，解得，
故直线、交点在定直线上．
19.若的面积为，则，
若，则，
两式相比，可得；
由题可得，
由余弦定理可得，
所
，
等号成立当且仅当且，
即当且仅当且，
即当且仅当且，
即当且仅当且，
所以的最小值为；
由题意恒成立，
，所以，
由余弦定理，由正弦定理，
则
，
在锐角中，，令，
则表示四分之一单位圆上的动点与定点连线斜率，如图所示，
由图可知，当与圆弧相切时，最小，此时，
而，，，，
所以，，
所以，解得，而，所以，
所以，
所以式子，所以，
等号成立当且仅当且，所以存在满足题意，且．
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