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2024-2025学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为( )
A. B. C. D.
2.唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花朵，千瓣类比单瓣类多朵，采用分层抽样方法从中选出朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有朵，重瓣类有朵，千瓣类有朵，则( )
A. B. C. D.
3.若，是两个不重合的平面，，，是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，，则
4.在件产品中，有件一级品和件二级品，从中任取件，下列事件中概率为的是( )
A. 都是一级品 B. 都是二级品
C. 一级品和二级品各件 D. 至少有件二级品
5.如图，在正方体中，，为正方体内含边界不重合的两个动点，下列结论错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则平面平面
C. 若，，则
D. 若，，则平面
6.某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，年年总收入是年的倍，为了更好的总结种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：
则下列结论错误的是( )
A. 年的甲系列产品收入和年保持不变
B. 年的丁系列产品收入是年丁系列产品收入的倍
C. 年的丙和丁系列产品的收入之和比年的企业年总收入还多
D. 年的乙和丙系列产品的收入之和比年的乙和丙系列产品收入之和的倍还少
7.盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点为底面上任意一点若直线与平面无公共点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.将一个容量为的样本分成组，已知第一组的频数为，第二、三组的频率为和，则 ______．
10.某校高三年级次模考中甲同学的数学成绩从小到大依次排列为，，，，，，，，，，则甲同学在这次模考中数学成绩的第百分位数为______．
11.一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，则两次取到的球颜色相同的概率为______．
12.如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，，则直线与平面所成角的正弦值为______．
13.在对树人中学高一年级学生身高单位：调查中，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，根据这些数据计算出总样本的方差为______．
14.如图，是边长为的正方形外一点，，，且，则二面角的余弦值为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
学校体育节的投篮比赛中，名学生的投中个数每人投个球统计表如下：
编号
投中个数
求这名学生投中球的个数的方差；
从投进个球和个球的学生中选人接受采访，求这人恰好是投进个球和个球各人的概率．
16.本小题分
如图，为正方体的棱的中点．
求证：平面；
求直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
在直三棱柱中，，．
求证：平面；
若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．
求证：；
求证：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.依题意，这名学生投中球的个数的平均数为．
方差为．
依题意，这名学生的投中个球的有人，记为，
投中个球的有人，记为，，，从中任选人，共有种情况，即，
从投进个球和个球的学生中各选人，有种情况，即，
所以从投进个球和个球的学生中选人接受采访，这人恰好是投进个球和个球各人的概率为．
16.证明：连接与，设交于点，连接，
由正方体的性质可知：为的中点，又因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：由可知等于为直线与所成的角，
由题意，平面，
所以，，
所以，
由可证得：，
设正方体的棱长为，则，，
，
所以．
所以直线与所成角的余弦值为．
17.证明：由题意知四边形是正方形，所以，
由平面得，
又因为，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，所以平面．
解：连接，设，
因为平面，所以是与平面所成的角，
在等腰直角三角形中，为斜边的中点，所以，
在中，，
所以，
即与平面所成的角的正弦值为．
18.解：证明：因为，为的中点，所以，
又底面为矩形，所以，所以．
证明：底面为矩形，．
平面平面，平面平面，
平面，平面，
又平面，．
又，，、平面，平面，
而平面，平面平面；
存在，且，理由如下：
连接、，，连接，
因为是矩形，且为的中点，所以∽，所以，
又平面，平面平面，平面，
所以，
所以．

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