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2024-2025学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若质点运动的位移单位：与时间单位：之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为( )
A. B. C. D.
2.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的试验数据如表：
天数天
繁殖个数千个
由此计算得回归直线方程为，但因工作人员的疏忽不慎将表中的试验数据丢失，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，是方程的两根，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
4.近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等处景点现甲、乙两位游客准备从处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列如表，若，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有张扑克牌，点数分别为，两人各随机出牌张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜次或平局次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值
10.下列命题中，不正确的命题是( )
A. 若相关系数的值越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 若随机事件，满足：，则，相互独立
C. 已知随机变量的方差为，则
D. 若，则当事件发生的概率最大时
11.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点已知二次函数有两个不相等的实根，，其中在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列记，且，，下列说法正确的是( )
A. 其中
B. 数列是递增数列
C.
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样本，调查得到样本数据，其中，分别表示第个样本的植物覆盖面积单位：公顷和这种野生动物的数量，分别表示这个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量，，并计算得，，，由选择性必修第一册教材中的识，我们知道对数据的相关系数，，则上述数据的相关系数 ______．
14.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为”兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为：，且成绩分布在区间，分数在分以上含分的同学获奖按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示：
高一学生 高二学生 合计
获奖
不获奖
合计
Ⅰ求的值，并填写下面的列联表；
Ⅱ试判断是否有的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由．
附表及公式：
16.本小题分
设数列的前项和为，，，，
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ若函数在处取得极值，求函数在区间上的值域；
Ⅱ是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知数列满足，且，函数．
Ⅰ求；
Ⅱ若恒成立，求的值；
Ⅲ设，求证：．
19.本小题分
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位若随机变量服从参数为的泊松分布记作，则其概率分布为，，其中为自然对数的底数．
Ⅰ当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为若，求的值保留三位小数；
Ⅱ某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数．
若，求在个产品中至少有个次品的概率；
若，，求在个产品中至少有个次品的概率通过比较计算结果，你发现了什么规律？
Ⅲ若，且，求的最大值保留一位小数．
参考数据：若，则有，，；，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ根据题意可知，，解得，
高一学生人数为：人，高二学生人数为人，
已知高一获奖人数为人，则高一不获奖人数为人，
获奖频率为：，
获奖人数为：人，
高二获奖学生人数为人，不获奖学生人数为人，
补充完整列联表如下：
高一学生 高二学生 合计
获奖
不获奖
合计
Ⅱ零假设为：获奖与学生的年级无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
没有的把握认为“获奖与学生的年级有关”．
16.Ⅰ由，
当时，可得，
两式相减，可得，即，
因为，，可得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
当时，，，，，，
上面各式相加可得，
即有，对也成立；
Ⅱ由，
所以，
则，
令，
则，
两式相减，可得
，
所以，所以．
17.Ⅰ导函数，
那么有，，
解得或，对应的或．
当，时，导函数，
此时函数在定义域上单调递增，没有极值，因此不合题意．
当，时，导函数，
当时，；当时，或，
因此在上单调递减，在，上单调递增，
且，因此函数在处取得极值，因此，满足题意．
在上，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数的最大值为，而，，
因此在区间上的值域为．
Ⅱ对任意，，且，有恒成立，
令，那么有恒成立．
令函数，那么函数在上单调递增，所以恒成立．
由于导函数，所以在恒成立，
当时，，
即在恒成立．
因为最大值为，所以．
所以存在实数，对任意，，且，有恒成立，此时．
18.Ⅰ由，可得，
可得数列是公差为的等差数列，
由，，可得，得，
由等差数列的求和公式，可得．
Ⅱ，
可得导数为，
当时，，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，不符合题意，
当时，令得，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又因为，要使得恒成立，则．
Ⅲ证明：由知，
由知，当时，，即，
令，所以，即，
，不等式成立．
19.Ⅰ由题意可得，
所以；
Ⅱ由题，
所以在个产品中至少有个次品的概率为：
；
由题，所以，
所以在个产品中至少有个次品的概率为，
根据计算结果发现当较大次品率较小时，
二项分布和泊松分布计算出的“至少有个次品的概率”非常接近，
所以当较大较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算；
Ⅲ若，则--，
故，
设，
则对任意恒成立，
所以函数在上单调递减，
又由，，，
所以若，则，
设，则对任意恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
即所以；
设，
则，
因为，
所以对任意恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，
即，
综上，当时，有，
当时，有，
所以的最大值为．
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