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2025 年深圳市普通高中高一年级调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D C A A C
命题说明：
1．题源：2023年北京卷第 2题．
2．题源：2023年全国新课标Ⅰ卷第 1题．
3．题源：人教 A版必修第一册 184页练习第 2题．
4．题源：人教 A版必修第二册 23页第 11题．
5．题源：2011年全国新课标Ⅰ卷（文科）第 3题．
6．题源：人教 A版必修第二册 163页第 9题．
7．题源：2023年全国新课标Ⅰ卷第 4题．
8．题源：人教 A版必修第二册 266页第 2题．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 AC ABD ABD
命题说明：
9． 题源：2016年全国新课标Ⅰ卷（文科）第 8题．
10．题源：人教 A版必修第一册 229页第 12题（3）．
11．题源：2009年全国新课标卷第 8题．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
19π
12． 1 ； 13． ； 14． 3 ；
3
命题说明：
数学试题参考答案及评分标准第 1 页 共 9 页
12．题源：人教 A版必修第二册 60页第 8题．
13．题源：2023年新课标全国Ⅰ卷 14题．
14．题源：原创．
a 2a a 2 a 2
解法 1 由于 bsin B csin B 1 ac sin B 1 bc sin A ，
2 2
由余弦定理： a2 b2 c2 2bc cosA，
2
y b c
2 2bc cosA 5 4cosA

则 1 y 0bc sin A sin A ，其中 ，
2
4
则 5 ysin A 4cos A y 2 16 sin(A ) ，其中 tan y，
由于 5 y2 16 ，则 y 3，此时 tan 4 3 ， tan A ；
3 4
解法 2 过 A作 AH BC，设 AH x，则
BH 4b2 x2 ，CH b2 x2 ，
a 4b2 x2 b2 x2
则 2( 4 (
b )2 1 (b )2 1)
bsin B b x x x
，
2b
t b令 ，
x y 4t
2 1 t 2 1，则 y t 2 1 4t 2 1，
则 y2 3t 2 2y t 2 1，则 y4 9t4 6t2 y2 4y2 (t2 1)，
9
则 9t4 10y2t2 (y4 4y2 ) 0， 100y4 36y2 (y2 4) 0 2，则 y ，
4
9
y2 9 a当 10 2时， t 2 4 5 b 符合，从而 的最小值为3；4 18 4 x2 bsin B
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
2
已知函数 f (x) a x 为奇函数．2 1
（1）求 a的值；
2
（2）若 f (x) ，求 x的取值范围．
3
数学试题参考答案及评分标准第 2 页 共 9 页
【命题说明】由人教 A版必修第一册 161页第 12题改编．
【参考答案】
（1）因为 f (x)为定义域为R 上的奇函数，
所以 f (0) a 1 0 ， a 1，
x
当 a 1时， f (x) 2 1 x ，2 1
f ( x) 2
x 1 1 2x
x f (x)，2 1 1 2x
所以当 a 1时， f (x)为R 上的奇函数；
x
2 f (x) 2 1 2（ ）由 x
2x
，且 2 1 0，
1 3
解得 2x 5，
即 x log2 5，
所以 x的取值范围为 ( , log2 5)；
16．（15分）
为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并
分析其质量指标值．经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成
的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示．
质量指标值 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
频数 20 30 30 10 10
频率
组距
0.04
0.03
0.02
a
o 100 110 120 130 140 150 质量指标值
（1）求频率分布直方图中 a的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小
（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在[120 ,130)和
[130 ,140)两组中抽取 5件产品，再从中随机抽取 2件进行分析，求这 2件产品均来自同一组的概率．
【命题说明】由 2014年重庆卷（文科）第 17题和 2014年新课标Ⅰ卷第 18题改编．
数学试题参考答案及评分标准第 3 页 共 9 页
【参考答案】
（1）由频率分布直方图中数据可知：10 (a 0.04 0.03 0.02 a) 1 ，解得 a 0.005 .
企业甲所生产的产品的质量指标值的平均数为：
x甲 105 0.2 115 0.3 125 0.3 135 0.1 145 0.1 121 ，
企业乙所生产的产品的质量指标值的平均数为：
x乙 105 0.05 115 0.4 125 0.3 135 0.2 145 0.05 123 ，
因为 x甲 x乙，所以乙企业生产的产品质量指标值的平均数更大；
（2）由频数分布表可知，乙企业生产的产品其质量指标值在区间 [100,110) 的有 20台，在区间
[110,120)的有30台，
由分层抽样可知，所抽取的 5台产品中， [100,110)组有 2台， [110,120)组有 3台，
记 [100,110)组的 2台产品为 A,B， [110,120)组的 3台产品为 a,b,c，
则从 5台产品中随机抽取 2台的所有可能结果为：
(A , B) , (A , a) , (A , b) , (A , c), (B , a) , (B , b) , (B , c) , (a , b) , (a , c) , (b , c)，共10种情况，
其中这 2件产品均来自同一组包含的所有结果为： (A , B) , (a , b) , (a , c) , (b , c)，共 4种情况，
4 2
故抽取的 2台充电宝均为优秀产品的概率 P ．
10 5
17．（15分）
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面BCC1B1， B1BC 60 ，点M 为BC中点．
（1）证明： A1B //平面 AMC1；
（2）若 AB AC BC 2CC1，求直线 AC与平面 AMC1所成角的正弦值．
A1 A
【命题说明】原创．
B1 B
【参考答案】
M
（1）连接 A1C，交 AC1于 D，连接DM ． C1 C
因为四边形 ACC1A1为平行四边形，点D为对角线的交点，
所以 D为 A1C的中点，
因为点M 为 BC的中点，所以MD∥A1B，
数学试题参考答案及评分标准第 4 页 共 9 页
因为MD 平面 AMC1， A1B 平面 AMC1，
所以 A1B∥平面 AMC1．
（2）解法一：过C作CH C1M ，交C1M 于点 H ，连接 AH ．
因为 AB AC，点M 为 BC中点，所以 AM BC ，
又因为平面 BCC1B1 平面 ABC，平面 BCC1B1 I平面 ABC BC， AM 平面 ABC，
所以 AM 平面 BCC1B1， A1 A
因为CH 平面 BCC1B1，所以 AM CH ，
又因为CH C1M ， AM IC1M M ， AM ,C1M 平面 AC1M ，
D
所以CH 平面 AC1M ，
B1 B
所以 CAH 为直线 AC 与平面 AMC1所成角． H M
C1 C
设 AB AC BC 2CC
1
1 2a ，则CM BC CC1 a，2
所以△CC1M 为等腰三角形，
又因为在平行四边形 BCC1B1中， B1BC 60 ，所以 BCC1 120 ，
CC M 30 CH 1 a所以 1 ，于是 CC ，2 1 2
a
所以 sin CAH CH 1 2 ，
AC 2a 4
1
即直线 AC与平面 AMC1所成角的正弦值为 ．4
解法二：因为平面 BCC1B1 平面 ABC，平面 BCC1B1 I平面 ABC BC， AM 平面 ABC，
所以 AM 平面 BCC1B1．
设 AB AC BC 2CC 2a CM
1
1 ，则 BC a ， AM AC 2 CM 22 3a
.
因为在平行四边形 BCC1B1中， B1BC 60 ，所以 BCC1 120 ，
1
所以 S△CC M CM CC1 sin C1CM
1
a a sin120 3 a 2 .
1 2 2 4
又因为 AM 平面 BCC1B1，C1M 平面 BCC1B1，所以 AM C1M ，
数学试题参考答案及评分标准第 5 页 共 9 页
在△CC1M 中，由余弦定理得C1M CM
2 CC 21 2 CM CC1 cos120 3a ，
1
所以 S△AC M AM C
1
1M 3a
3
3a a 2，
1 2 2 2
设点C到平面 AMC1的距离为 h，
1 1 A1 A
由于VA CC1M VC AC1M ，所以 AM S△CC M h S3 1 3 △AC
，
1M
3 2
AM S 3a a
h △CC1M 4 a所以 ，
S△AC M 3 a2 21
2
设直线 AC与平面 AMC1所成角为 ， B1
B
M
a
h 1 C则 1 Csin 2 ，
AC 2a 4
1
即直线 AC与平面 AMC1所成角的正弦值为 ．4
18．（17分）
在△ABC中， BC， AC边上的两条中线 AM ， BN 相交于点 P，若 AB : AM : AC 6 : 7 :10．
uuur uuur uuur uuur
（1）用 AB， AC表示 AM ， BN ；
（2）求 BAC；
uuur uuur
（3）若 AM BN 2，求四边形 PMCN的面积．
【命题说明】由人教 A版必修第二册 53页第 12题改编．
【参考答案】
uuur 1 uuur uuur uuur uur uuur uuur 1 uuur
（1） AM (AB AC)， BN BA AN AB AC ；
2 2
（2）不妨设 AB 6m (m 0 )，则 AC 10m， AM 7m，
uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
由于 2AM AB AC，可得 4AM AB AC 2AB AC，
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2
所以 AB AC
1 1
2AM AB AC 30m 2 ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
又 AB AC | AB || AC | cos BAC 60m 2 cos BAC ，
所以 cos
1
BAC ，
2
数学试题参考答案及评分标准第 6 页 共 9 页
因为 BAC (0 , π)
π
，所以 BAC ；
3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 2 1 uuur uuur uuur 2
（3）由（1）可知 AM BN ( AB AC ) ( AB AC ) AB AB AC
1 1
AC m 2 2 ，
2 2 2 2 4 4 2
则m 2，故 AB 12， AC 20，
如图，连接MN ，由题意得MN 为△ABC的中位线， A
所以△CMN∽△CBA，△PMN∽△PAB，
N
AB AP BP
所以 2 PMN PM PN ，
故 S
1
△CMN S4 △ABC
， B M C
S 1 S 1 1 1 1△PMN 3 △AMN
S
3 △CMN
S
3 4 △ABC
S
12 △ABC
，
所以 S
1 1 1
四边形PMCN S△PMN S△CMN S△ABC AB AC sin BAC 20 3．3 3 2
19．（17分）
已知函数 f (x) sin 2 x 2acos x a2 b．
1
（1）当 a 时， f (x) 0，求b的取值范围；
2
（2）求 f (x)的值域；
x [0 , π（3）当 ]时， | f (x) | 2，求b a的最大值．
2
【命题说明】原创．
【参考答案】
1 2
1 2
（ ） f (x) sin x cos x b cos x cos x
3
b
4 4
(cos x 1 )2 1 b，
2
1
所以当 cos x 时， f (x)min 1 b ，2
因为 f (x) 0，
则 f (x)min 1 b 0，即 b 1，
所以b的取值范围为 ( , 1]；
（2） t cos x [ 1 ,1]，则令 g(t) t 2 2at a2 b 1 .
数学试题参考答案及评分标准第 7 页 共 9 页
①若 a 1，则 f (t)在 [ 1,1]上单调递减，
Q g( 1) a2 2a b， g(1) a2 2a b，
g(t) [ a2 2a b , a2 2a b] ；
②若 1 a 0，则 f (t)在 [ 1,a]上单调递增，在[a,1]上单调递减，
Q g(a) 1 b，且 g(1) g( 1)，
g(t) [ a2 2a b , 1 b]；
③若 0 a 1，则 f (t)在[ 1,a]上单调递增，在[a,1]上单调递减，
Q g(a) 1 b，且 g( 1) g(1)，
则 g(t) [ a2 2a b , 1 b]；
④若 a 1，则 f (t)在[ 1,1]上单调递增，
Q g( 1) a2 2a b， g(1) a2 2a b，
则 g(t) [ a2 2a b , a2 2a b] ；
综上所述，①当 a 1时， f (x)的值域为 [ a2 2a b , a2 2a b] ；
②当 1 a 0时， f (x)的值域为 [ a2 2a b , 1 b]；
③当 0 a 1时， f (x)的值域为 [ a2 2a b , 1 b]；
④当 a 1时， f (x)的值域为 [ a2 2a b , a2 2a b] .
3 2 g(0) 2 a2 1 b a2 3
（3）①当 a 0时，由（2）知:
2 2 g(1) 2
，进一步整理得 ，
2 a 2a 2 b a2 2a 2
Q 3 a 0，
2
a2 2a 2 a2 1， a2 2a 2 a2 3 .
因此可得 1 a2 b a2 2a 2 .
所以 b a a2 a 2 2；
2 2
②当1 a 5
2 g(0) 2 a 1 b a 3
时，由（2）知: ，进一步整理得
2 2 g(1) 2

a2
，
2a 2 b a2 2a 2
Q1 a 5 ，
2
a2 2a 2 a2 1， a2 2a 2 a2 3 .
数学试题参考答案及评分标准第 8 页 共 9 页
因此可得 a2 2a 2 b 3 a2 ，
所以 b a a2 a 3 1；
1 2 g(a) 2
1 b 3
③当 0 a 时，则
2 2 g(1) 2
，进一步整理得 ，
a
2 2a 2 b a2 2a 2
Q 0 a 1 ，
2
a2 2a 2 1，且 a2 2a 2 3，
1 b a2 2a 2 ，
2 9
因此可得 b a a a 2 ；
4
1 2 g(a) 2 1 b 3
④当 a 1时，则
2 2 g(0) 2
，进一步整理得
a
2 1 b ， a2 3
Q 1 a 1，
2 a
2 1 1，且 a2 3 3，
1 b a2 3，
2
因此可得 b a a a 3 9 ；
4
1 11 9
综上所述,当 a ，b 时， b a取到最大值，最大值为 .
2 4 4
数学试题参考答案及评分标准第 9 页 共 9 页

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