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第4章《相似三角形》单元复习与检测
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长是（ ）
A． B．2 C．8 D．
如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，
若，，，则的值是（ ）
A．15 B．10 C．14 D．9
如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，
点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，
则树高为（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，
则四边形ABCE的面积为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点分别在上， 交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，
交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，
作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2 C. D.
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则的值为 ．
12．如图，在中，若，，，则的长是______．
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________
14 . 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面 .
15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m．
16 ． 如图，已知矩形，，，将延翻折的，
将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .

解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17． 已知a：b：c＝3：2：1，且a﹣2b+3c＝4，求2a+3b﹣4c的值．
已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．
求证：．
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，
测得米，米，米，且，，求该古城墙的高度.

20．如图，已知在 ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．
求△AEF与△CDF的周长之比；
若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．
21．如图，为上一点，．

求证：；
若平分，，求的长．
22．如图， 在中， 点P是的边上的一点．
请判断三人的说法的对错：
小星 ，小红 ， 小亮 ．（填“对”或“错”）
选择一种正确的方法， 求证： ；
在（2）的条件下，， 若， ， 求的长．
在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，
点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；
点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．
如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；
点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．
若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
当t为何值时，PQ∥BC；
设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，
使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
参考解答
一、选择题 ： 1．D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. B 9. B 10. D
填空题 ： 11． 12． 13. 14 .3 15．5.5 16 ．
三、解答题 ：
17． 解：∵a：b：c＝3：2：1，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝k，
∵a﹣2b+3c＝4，
∴3k﹣4k+3k＝4，
∴k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝2，
∴2a+3b﹣4c＝12+12﹣8＝16．
证明：∵，，，，
∴，
又∵，
∴．
19.解：由题意，得.
∵，，
∴.
∴.
∴，即，
∴（米）.
即该古城墙的高度是5.4米.
20．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CD∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE，
∴△AEF∽△CDF，
∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，
∴△AEF与△CDF的周长之比为1∶3（周长比等于相似比）；
（2）∵△AEF∽△CDF，AE∶CD＝1∶3，
∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9，
∵S△AEF＝6 cm2，
∴S△CDF＝54 cm2．
21．（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）知，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，即 ，
∴．
22．（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：
小星的证明：
∵，
∴；
小红的证明：
∵，
∴；
小亮的证明：由不能证明，
∴小星和小红对，小亮错．
故答案为：对，对，错
（2）证明：小星的证明：
∵，
∴；
小红的证明：
∵，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
解得．负值舍去
23.（1）解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
24.解：（1）在Rt△ABC中，AB＝ ＝＝10（cm），
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；
∴BP＝t，AQ＝2t，则AP＝10﹣t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=
∴=
∴t＝
∴当t＝s时，PQ∥BC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵PE⊥AC，BC⊥AC，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴PE＝6﹣t，
∴y＝×2t×（6﹣t）＝﹣t2+6t．
（3）∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm，
∴△ABC的周长为24cm，△ABC的面积为24cm2，
∵线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分，
∴AP+AQ＝×24＝12，
∴10﹣t+2t＝12，
∴t＝2，
当t＝2时，y＝﹣×4+12≠×24，
∴不存在t的值使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）如图，连接P'P交AC于点O，
∵四边形PQP′C为菱形
∴PO⊥AC，OQ＝OC，
∴PO∥BC，
∴△APO∽△ABC，
∴=，，
∴=，，
∴AO＝ ，
∵OQ＝OC，
∴AO﹣AQ＝AC﹣AO，
∴2×﹣2t＝8，
∴t＝，
∴当t＝s时，四边形PQP′C为菱形．
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